Реферат
Рішення багатьох технічних, хімічних, а також біологічних задач вимагає рішення задачі Коші. Цю задачу можна вирішувати різними способами, як аналітичними, так і чисельними, застосовуючи ЕОМ. Дуже часто буває важливо отримати результат в стислі терміни. У цьому випадку перевага віддається чисельним методам. Крім того, зустрічаються такі складні диференціальні рівняння, знайти аналітичне вирішення яких або взагалі не представляється можливим, або для цього потрібні дуже великі витрати часу і сил.
У роботі детально розглядається метод Рунге-Кутта четвертого порядку з автоматичним вибором довжини кроку інтегрування (це забезпечує набагато більш високу точність обчислень по порівнянні з методом, що використовує крок постійної довжини), наводиться необхідна теоретична зведення, опис методу, а також програма для ЕОМ, результати її виконання та ілюстрації.
Ключові слова: диференціальне рівняння, метод Рунге-Кутта, метод Ейлера, порядок методу Рунге-Кутта, задача Коші, ряд Тейлора, відрізок, коефіцієнти, крок інтегрування, інтегральна крива.
Робота містить 36 аркушів, включаючи 8 графіків, 4 ілюстрації та 12 таблиць.
Зміст
Введення
1. Теоретична частина
1.1 Постановка завдання
1.2 Метод Ейлера
1.3 Загальна формулювання методів Рунге-Кутта
1.4 Обговорення методів порядку 4
1.5 В«ОптимальніВ» формули
1.6 Умови порядків для методів Рунге-Кутта
1.7 Оцінка похибки й збіжність методів Рунге-Кутта
1.7.1 Строгі оцінки похибки
1.7.2 Головний член похибки
1.7.3 Оцінка глобальної похибки
1.8 Оптимальний вибір кроку
2. Практична частина
2.1 Опис програми В«Ilya RK-4 версія 1.43В»
Висновок
Список використаних джерел
Додаток А. Графіки функцій
Додаток Б. Приклад таблиці значень функції y (x)
Додаток В. Лістинг програми В«Ilya RK-4 версія 1.43В»
Введення
Зважаючи на те, що для методів Рунге-Кутта не потрібно обчислювати додаткові початкові значення, ці методи займають особливе місце серед методів класичного типу. Нижче будуть розглянуті їх властивості, а також деякі обмеження, властиві цим методам.
Зі збільшенням числа етапів для великих завдань, що вирішуються цими методами, виникли б труднощі з пам'яттю ЕОМ, крім того (і це найважливіше), для великих завдань, як правило, завжди великі константи Ліпшиця. У загальному випадку це робить методи Рунге-Кутта високого порядку не придатними для таких завдань. У всякому разі, інші методи зазвичай ефективніше і їм варто віддавати перевагу. Однак методи Рунге-Кутта четвертого порядку є досить легко реалізованими на ЕОМ, а наявність автоматичного вибору кроку дає можливість виробляти обчислення з хорошою точністю. Тому їх доцільно застосовувати для досить широкого безлічі задач.
Методи Рунге-Кутта мають кілька вагомих переваг, які визначили їх популярність серед значної кількості дослідників. Ці методи легко програмуються, володіють достатніми для широкого кола завдань властивостями точності і стійкості. Ці методи, як і всі однокрокові методи, є самостартующімі і дозволяють на будь-якому етапі обчислень легко змінювати крок інтегрування.
У роботі основну увага сконцентрована на питаннях точності і ефективності вирішення завдань того типу, для яких методи Рунге-Кутта прийнятні.
Програмна реалізація методів Рунге-Кутта четвертого порядку з автоматичним вибором кроку представлена ​​у вигляді програми, написаної мовою високого рівня Borland C + + 3.1 . Програму можна запускати в середовищі MS - DOS або Windows В® 95/98/ Me /2 k / XP . В якості виходу програма пише таблицю значень в файл на диск і малює графік на екрані ЕОМ.
Для перевірки результатів роботи створеної програми одні й ті ж диференціальні рівняння вирішувалися в математичному пакеті Waterloo Maple 9.01 та при допомоги створеного додатка (версія 1.43), проводився аналіз таблиць значень і графіків рішень.
1. Теоретична частина
1.1 Постановка завдання
Дано диференціальне рівняння і початкова умова, тобто поставлена ​​задача Коші:
(2.1.1)
Потрібно відшукати інтегральну криву, задовольняє поставленої задачі Коші за допомогою методу Рунге-Кутта четвертого порядку з автоматичним вибором кроку на відрізку. Завдання можна вирішити аналітично, знайшовши рішення диференціального рівняння і підставивши в нього початкова умова, тим самим, відшукавши необхідну інтегральну криву. Але для нас інтерес представляє рішення даної задачі із застосуванням чисельного методу, а конкретніше - методу Рунге-Кутта 4-го порядку з автоматичним вибором кроку, тобто чисельне рішення. Автоматичний вибір кроку - необхідна умова адекватної поведінки програми при різко змінюються функціях, які задають інтегральну криву, дозволяє відобразити всі моменти в поведінці інтегральної кривої і домогтися високої точності.
1.2 Метод Ейлера
Метод Ейлера для вирішення початкової задачі (2.1.1) був описаний Ейлером в 1768 році. Цей метод досить простий. Його глобальна похибка має вигляд, де - постійна, що залежить від завдання, і - максимальна довжина кроку. Якщо бажано, скажімо, отримати 6 точних десяткових знаків, то потрібно, отже, близько мільйона кроків, що не дуже задовільно. З іншого боку, ще з часів Ньютона відомо, що можна знайти набагато більше точні методи, якщо не залежить від, тобто якщо ми маємо задачу (2.1.1), решаемую квадратурою
. (2.2.1)
Як приклад можна розглянути першу квадратурну формулу Гаусса, також звану В«правилом середньої точкиВ»:
(2.2.2)
де і - граничні точки подінтервалов, на які розбитий інтервал інтегрування. Відомо, що оцінка глобальної похибки цієї формули має вигляд. Таким чином, якщо бажана точність становить 6 десяткових знаків, її зазвичай можна отримати приблизно за 1000 кроків, тобто цей метод в тисячу разів швидше. Тому Рунге поставив наступне питання: чи не можна поширити цей метод на вихідну задачу Коші? Перший крок довжини повинен мати вигляд
. (2.2.3)
Але яке значення узяти для? За відсутність кращого природно використовувати один малий крок методу Ейлера довжини . Тоді з попередньої формули отримаємо:
(2.2.4)
Вирішальною обставиною тут є множення в третьому виразі на, в результаті чого вплив похибки стає менш істотним. Точніше, обчислимо для розкладання Тейлора за ступенями:
(2.2.5)
Його можна порівняти з рядом Тейлора для точного рішення, який виходить з того, що шляхом повторного диференціювання з заміною на кожен раз, коли воно з'являється:
(2.2.6)
Віднімаючи з останнього рівності попереднє, отримаємо для похибки першого кроку вираз
(2.2.7)
Таким чином, якщо всі приватні похідні другого порядку обмежені, то
.
Щоб отримати наближене значення рішення вихідної завдання в кінцевій точці, будемо застосовувати формули (2.2.4) послідовно до інтервалам. Наведені вище формули є вдосконаленим методом Ейлера. Для обчислень з високою точністю, проте, слід користуватися іншими методами, одним з яких як раз є метод Рунге-Кутта.
1.3 Загальна формулювання методів Рунге-Кутта
Рунге і Хойна побудували нові методи, включивши в зазначені формули один або два додаткових кроку по Ейлера. Але саме Кутта сформулював загальну схему того, що тепер називається методом Рунге-Кутта.
Нехай - ціле позитивне число (число стадій, етапів) і - речові коефіцієнти. Тоді метод
(2.3.1)
називається-стадійним явним методом Рунге-...
