Вступ
звертаючись мною тема курсової роботи - математічні більярді - є Дуже цікавою и актуальною . В Умова розвітку комп'ютерних технологій, створеня математичних пакетів для Вирішення багатьох завдань з різніх Галузо математики постає проблема Поиск найбільш оптимальних Шляхів розв'язання. Чи не останню роль в вірішенні цієї Проблеми грає Вивчення Теорії математичних більярдів. Того Розгляд цього питання, встановлення зв'язків основ цієї Теорії з рішеннямі проблем інформатики, фізики є достатності Важливим компонентом навчального курсу В«Вища математикаВ». Крім цього, деякі Відомості ДОречний Було б вівчаті в середній школі для розв'язання задач підвіщеної складності, при підготовці учнів до математичних олімпіад, на факультативах з математики та в класах з поглиблення вивченості математики.
Вивчення математичних більярдів, Як системи руху абсолютно пружньою тіла (без врахування опору середовища), послужило основою Концепції детермінованого хаосу. До систем, відповідаючім більярдам, зводяться ряд завдань статистичної фізики. Багато складаний для аналітічного розв'язання математичних задач легко розв'язуються за допомог побудова траєкторій більярдів в прямокутній та опуклій області. Чітко простежується зв'язок Такої науки, Як оптики з проблемами побудова траєкторій математичних більярдів в еліпсі та ін.
Всі Це свідчіть про необхідність подалі Розгляд цієї тими, використання для Вирішення Харчування Теорії більярдів сучасности комп'ютерних програм. Того метою моєї роботи Було Вивчення основних теоретичних відомостей віщезазначеної тими, аналіз можливіть застосування законів Теорії в середніх навчально закладах та Використання комп'ютерних програм для оптімізації роботи з Поиск Рішення проблемних харчування, для наочної демонстрації правил Побудова більярдніх траєкторій та Розширення сфери застосування Теорії математичних більярдів. Для цього булі вівчені роботи відоміх математіків, Що Займан цією проблемою, проведена Спільна з Викладач віщої математики та інформатики ХНПУ ім. Г.С. Сковороди дослідніцька робота. В результаті проведеної роботи булі Отримані наступні Висновки, Що представлені в двох розділах даної курсової роботи.
Відомості з Теорії математичних більярдів
Об'єкт та історія Вивчення Теорії
Назва більярд походити від французьких В«billiardВ» - крива палиця або В«billartВ» (кий) та В«billeВ» (куля).
Подібно до того, Як азартна гра у кості віклікала до життя В«обчисленняВ» вірогідності, гра в більярд стала предметом серйозніх наукових досліджень з механікі ту математики. ОПІВ руху більярдної кулі присвяч книга видатна французька фізика Г.Г. Коріоліса, створ ним в 1835 году. Окремі Відомості цієї праці Будуть наведені в подалі розділах даної курсової роботи.
Відомі Різні варіанті гри на більярді. Наприклад, так звань французькій більярд взагалі НЕ має луз. При грі в цею більярд треба попасти в завданні кулю після декількох зіткнень з іншімі лантухами. Французький більярд и ставши прообразом математичного більярда.
Об'єктом Вивчення в математичних більярдах є Траєкторія, тобто слід рухомої більярдної одініці. В Загальна випадка ця Лама, Що вписана в область Q и склад з нескінченної кількості ланок, на якіх вказано напр руху. Ця Ламана Може буті однозначно побудована по будь-якій своїй ланці. В окремому випадка, коли більярдна Частка вертається в віхідне положення (і після цього знов розпочінає Свій рух), Лама замкніть и Складається з скінченої кількості ланок. Така Траєкторія назівається періодічною. Основна ціль Теорії математичних більярдів - опис всілякіх тіпів траєкторій в різніх областях.
Більярді прізводять до багатьох цікавіх и красивих математичних задач. Про декількох з них розповідається в Другій частіні даної роботи.
Ці Задачі бувають далеко не просто и пріховують в собі Багато невірішеніх проблем. Наприклад, досі невідомо, чи в будь-якій області існує періодічна більярдна Траєкторія (це невідомо навіть для многокутніків). Іще один приклад пов'язаний з проблемою вісвітлення довільної області з дзеркальнімі стінкамі точковая джерелом світла: з деякої точки q € Q віпустімо різноманітні промені світла, Що дзеркально відбіваються від границі ∂ Q; чі освітлять смороду (після можливости відбіттів) всю область Q? Відповідь невідома, ЯКЩО Q - многокутнік. Для плоских областей Загальний вигляд Відповідь негативна.
Окрім Використання в чисто математичних задачах, більярді цікаві тім, Що моделюють досі складні фізічні процеси. Традіційно більярді використовуються у оптіці (Дзеркальне відбіття, Задачі про освітлення, фокусіровка променів в лазері) та акустіці (побудова В«шепочущіх галерейВ»), оскількі Променя світла та звукових Хвиля прітаманні пружні (дзеркальні) відбіття от непронікніх поверхонь.
До більярдів можут буті Зведені деякі важліві Моделі класичної механікі и гідродінамікі - гази и Рідини, Що складені з молекул, пружньою стікаються Один з одним та з стінкамі ємкості (системи твердих куль). Тут закон пружньою Зіткнення покладено в самій Моделі, зостається Ліше уявіті (закодуваті) рух багатьох молекул траєкторією однієї більярдної Частки. Багато проблем класичної механікі твердих куль можут буті сформульовані и вірішені в термінах більярдів. Наприклад, так Було розв'язання питання про можливіть кількість зіткнень в сістемі з нескінченної кількості твердих куль у відкрітому просторі (без стінок).
Більярдні траєкторії вінікають при знаходженні Власний функцій оператора Лапласа всередіні віпуклої області з Граничний умів.
Нескінченно можна перераховуваті возможности застосування Теорії математичних більярдів. Останнім годиною статистична механіка дала великого імпульсу розвітку Теорії більярдів. Тому надалі пріділімо їй найбільшу УВАГА.
Проблема чіткого обгрунтування законів статистичної механікі здавна хвілювала розум вчених (в Повна обсязі Вона не вірішена ї досі). Мова Йде про вивід законів еволюції Головна систем Великої кількості часток (компонент) з рівнянь руху кожної окремої частки (компоненти) Під впливим Всіх інших часток. Ще в позамінулому сторіччі Л. Больцман вказав, Що візначені математічні Властивості системи твердих куль можут буті корисностей для такого висновка. Властивості ці - ергодічність, перемішування та Інші - не Такі Прості. Ці Властивості (їх назівають стохастичності) віявляються кож корисностей при вівченні багатьох інших Явища, Наприклад квантового хаосу.
Ергодічні Властивості більярдів обговорюваліся галі в працях А. Пуанкаре, Г. Біркгофа и Ж. Адамара. Великий Внесок у розуміння ролі ціх властівостей для проблем статистичної механікі вніс Радянський Фізик Н. С. Крилов. Математичний апарат для Вивчення ергодічніх властівостей більярдів з'явилися в 70-х роках, після того, Як в серії праць Д.В. Аносова, Я.Г. Сіная, С. Смейла та інших Було Створено новий напрямок Теорії дінамічніх систем, Що ОТРИМАНО Назва Теорії гіперболічніх дінамічніх систем. Перше фундаментальне Дослідження ергодічніх властівостей більярдів належиться Я.Г. Сінаю. Його праця відкріла двері для проникнення дінамічніх систем (хаосу, безповоротності руху, діфузії, релаксації, рівноваги) в математичних теорію більярдів.
В умів Сучасності теорія більярдів здобули відомість и ОТРИМАНО Широке визнання в науковому Світі. Стали звичних Такі Поняття, Як В«стохастичності більярдВ», В«Квантова більярдВ» В«ентропія більярдуВ», В«статистичні Властивості більярдуВ». В тієї ж годину, Це порівняно молода теорія. Того возможности Використання новітніх технологій розв'язання можливости допоможуть знайте Відповідь на галі нерозв'язані Задачі даної Теорії.
Перейдемо до Загальної математичної Проблеми більярду. Вона полягає в тому, щоб змалюваті різноманітні типи більярдніх траєкторій в даній області Q. Найпростішій принцип такого зма...
