Зміст
Введення
1. Предмет і методи математичної статистики
2. Основні поняття математичної статистики
2.1 Основні поняття вибіркового методу
2.2 Вибіркове розподіл
2.3 Емпірична функція розподілу, гістограма
Висновок
Список літератури
Введення
Математична статистика - наука про математичні методи систематизації та використання статистичних даних для наукових і практичних висновків. У багатьох своїх розділах математична статистика спирається на теорію ймовірностей, дозволяє оцінити надійність і точність висновків, зроблених на підставі обмеженого статистичного матеріалу (напр., оцінити необхідний обсяг вибірки для отримання результатів необхідної точності при вибірковому обстеженні).
У теорії ймовірностей розглядаються випадкові величини із заданим розподілом або випадкові експерименти, властивості яких цілком відомі. Предмет теорії ймовірностей - властивості та взаємозв'язки цих величин (розподілів).
Але часто експеримент являє собою чорний ящик, що видає лише якісь результати, за яким потрібна зробити висновок про властивості самого експерименту. Спостерігач має набір числових (або їх можна зробити числовими) результатів, отриманих повторенням одного і того ж випадкового експерименту в однакових умовах.
При цьому виникають, наприклад, такі питання: Якщо ми спостерігаємо одну випадкову величину - як по набору її значень в декількох дослідах зробити якомога більш точний висновок про її розподілі?
Прикладом такої серії експериментів може служити соціологічне опитування, набір економічних показників або, нарешті, послідовність гербів і решек при тисячекратном підкиданні монети.
Всі вищенаведені фактори обумовлюють актуальність і значимість тематики роботи на сучасному етапі, спрямованої на глибоке і всебічне вивчення основних понять математичної статистики.
У зв'язку з цим метою даної роботи є систематизація, накопичення і закріплення знань про поняття математичної статистики.
1. Предмет і методи математичної статистики
Математична статистика - наука про математичні методи аналізу даних, отриманих при проведенні масових спостережень (вимірів, дослідів). В залежності від математичної природи конкретних результатів спостережень статистика математична ділиться на статистику чисел, багатовимірний статистичний аналіз, аналіз функцій (процесів) та часових рядів, статистику об'єктів нечислової природи. Істотна частина статистики математичної заснована на імовірнісних моделях. Виділяють загальні задачі опису даних, оцінювання та перевірки гіпотез. Розглядають і більш приватні задачі, пов'язані з проведенням вибіркових обстежень, відновленням залежностей, побудовою та використанням класифікацій (типологій) та ін
Для опису даних будують таблиці, діаграми, інші наочні уявлення, наприклад, кореляційні поля. Імовірнісні моделі зазвичай не застосовуються. Деякі методи опису даних спираються на просунуту теорію і можливості сучасних комп'ютерів. До них відносяться, зокрема, кластер-аналіз, націлений на виділення груп об'єктів, схожих один на одного, і багатовимірне шкалювання, що дозволяє наочно представити об'єкти на площині, в найменшій мірі спотворивши відстані між ними.
Методи оцінювання та перевірки гіпотез спираються на імовірнісні моделі породження даних. Ці моделі діляться на параметричні і непараметричні. В параметричних моделях передбачається, що досліджувані об'єкти описуються функціями розподілу, залежними від невеликого числа (1-4) числових параметрів. У непараметричних моделях функції розподілу передбачаються довільними неперервними. У статистиці математичної оцінюють параметри і характеристики розподілу (математичне очікування, медіану, дисперсію, квантилі та ін), щільності та функції розподілу, залежності між змінними (на основі лінійних і непараметричних коефіцієнтів кореляції, а також параметричних або непараметричних оцінок функцій, що виражають залежності) та ін Використовують точкові та інтервальні (дають кордону для істинних значень) оцінки.
В математичній статистиці є загальна теорія перевірки гіпотез і велике число методів, присвячених перевірці конкретних гіпотез. Розглядають гіпотези про значеннях параметрів і характеристик, про перевірку однорідності (тобто про збігу характеристик або функцій розподілу у двох вибірках), про згоду емпіричної функції розподілу із заданою функцією розподілу або з параметричним сімейством таких функцій, про симетрії розподілу і ін
Велике значення має розділ математичної статистики, пов'язаний з проведенням вибіркових обстежень, з властивостями різних схем організації вибірок і побудовою адекватних методів оцінювання та перевірки гіпотез.
Завдання відновлення залежностей активно вивчаються понад 200 років, з моменту розробки К. Гауссом у 1794 р. методу найменших квадратів. В даний час найбільш актуальні методи пошуку інформативного підмножини змінних і непараметричні методи.
Розробка методів апроксимації даних і скорочення розмірності опису була розпочата більше 100 років тому, коли К. Пірсон створив метод головних компонент. Пізніше були розроблені факторний аналіз [1] і численні нелінійні узагальнення.
Різні методи побудови (кластер-аналіз), аналізу і використання (дискримінантний аналіз) класифікацій (типологій) іменують також методами розпізнавання образів (З учителем і без), автоматичної класифікації та ін
Математичні методи в статистиці засновані або на використанні сум (на основі Центральної Граничною Теореми теорії ймовірностей) або показників відмінності (відстаней, метрик), як в статистиці об'єктів нечислової природи. Строго обгрунтовані зазвичай лише асимптотичні результати. В даний час комп'ютери відіграють велику роль в математичній статистиці. Вони використовуються як для розрахунків, так і для імітаційного моделювання (зокрема, в методах розмноження вибірок і при вивченні придатності асимптотичних результатів).
2. Основні поняття математичної статистики
2.1 Основні поняття вибіркового методу
Нехай - випадкова величина, яка спостерігається у випадковому експерименті. Передбачається, що ймовірнісна пространство задано (і не буде нас цікавити).
Будемо вважати, що, провівши раз цей експеримент в однакових умовах, ми отримали числа,,, - значення цієї випадкової величини в першому, другому, і т.д. експериментах. Випадкова величина має деякий розподіл, який нам частково або повністю невідомо.
Розглянемо докладніше набір, званий вибіркою.
У серії вже вироблених експериментів вибірка - це набір чисел. Але якщо цю серію експериментів повторити ще раз, то замість цього набору ми отримаємо новий набір чисел. Замість числа з'явиться інше число - Одне із значень випадкової величини. Тобто (і, та , і т.д.) - змінна величина, яка може приймати ті ж значення, що і випадкова величина, і так само часто (з тими ж імовірностями). Тому до досвіду - випадкова величина, однаково розподілена с, а після досвіду - число, яке ми спостерігаємо в даному першому експерименті, тобто одне з можливих значень випадкової величини.
Вибірка обсягу - це набір з незалежних і однаково розподілених випадкових величин (В«копійВ»), які мають, як і, розподіл.
Що значить В«По вибірці зробити висновок про розподілВ»? Розподіл характеризується функцією розподілу, щільністю або таблицею, набором числових характеристик -,, І т.д. За вибіркою потрібно вміти будувати наближення для всіх цих характеристик.
2.2 Вибіркове розподіл
Розглянемо реалізацію вибірки на одному елементарному кінець - набір чисел,,. На відповідному імовірнісному просторі введемо випадкову величину, приймаючу значення,, з ймовірностями по (якщо якісь з значень збіглися, складемо вірогідність відповідне число разів). Таблиц...
