Практична робота
з курсу В«Математичні моделі навколишнього середовищаВ»
Визнач тимчасова зміна рівня води в деяких пунктах за період приблизно в 170 років.
Застосувати методи математичної статистики для оцінки характеристик і якості наявних даних спостережень. Виконати прогноз підйому рівня води на майбутнє і перевірити якість прогнозу на вже наявних даних.
1. Розрахувати моменти ряду (середнє і середньоквадратичне значення), побудувати функцію розподілу і щільність функції розподілу. Виконати її апроксимацію теоретичними залежностями.
Рис. 1.1. Зміна рівня води за період у 102 роки
Мінімальний рівень води = 0.06328, максимальне значення рівня = 0.6792
Замінимо простий статистичний ряд на статистичний ряд з меншим числом доданків, рівним 100. І для такого ряду розрахуємо частоту події (в якості події беремо середній рівень води).
Таким чином, маємо 100 інтервалів, для кожного обчислюється частота події (число подій в статистичному ряді, коли X = x, до загального числа подій)
.
У нашому випадку маємо N = 1024 події, а m - число рівнів, потрапили i-ий інтервал Очевидні властивості цієї частоти
Частоту різних рівнів води можна зобразити графічно
Рис. 1.2. Графік залежності частоти від середнього рівня води
Статистична функція розподілу є В«частотаВ» події Х < x в даному статистичному інтервалі
.
Рис. 1.3. Функція розподілу
Ця функція F * (x) є неубивающей з наступними межами:
F * (x В® - ВҐ) = 0, F * (x В® + ВҐ) = 1.
З функцією розподілу F (x) пов'язана щільність функції розподілу f (x)
.
яка задовольняє наступним співвідношенням:
f (x) Ві 0, ГІ f (x) dx = 1,
Рис. 1.4. Щільність функції розподілу
Була виконана апроксимація щільності функції розподілу теоретичними залежностями: поліномами 6-ий, дев'ятий, 15-го ступеня, тригонометричними многочленами. Оптимальним наближенням виявився поліном дев'ятий ступеня.
В якості критерію оптимальної апроксимації використовували критерій Пірсона
Рис. 1.5. Апроксимація щільність функції розподілу поліномом дев'ятий ступеня
Для нового ряду за наявними даними можна розрахувати математичне очікування, що характеризує середнє значення рівня води
,
і середньоквадратичне відхилення, що характеризує середній розкид цих значень:
s * =.
де - дисперсія:
x i - середнє значення випадкової величини всередині розряду.
У нашому випадку, середній рівень води дорівнює 0.41, а середньоквадратичне відхилення - 0.119
2. В якій ступеня даний ряд є стаціонарним? На які часи даний ряд можна вважати стаціонарним? Дати оцінки моментів для В«шматківВ» ряду і побудувати гістограми оцінок
Для того щоб ряд був стаціонарним, повинні бути виконані умови
- кореляційна функція не залежить від часу
математичне сподівання
- дисперсія
-
Для перевірки стаціонарності ділимо вихідний ряд на шматків, і для кожного такого шматка перевіряємо виконання трьох умов.
- Кореляційна функція .
Фіксуємо, де N - кількість точок.
Вважаємо автокореляційної функції для першого відрізка, а потім - кореляційну функцію для кожних двох сусідніх шматків. Отримуємо значення кореляційної функції при фіксованому для кожного шматка ряду.
Якщо процес стаціонарний, то всі значення повинні збігатися зі значенням автокореляційної функції.
Рис. 2.1. Графіки залежності кореляційної функції від номери відрізка при різних.
В якості оцінки кореляційної функції вирахували середньоквадратичне відхилення від значення автокореляційної функції.
Рис. 2.2. Залежність середньоквадратичного відхилення від
- Математичне сподівання
Для кожного В«шматкаВ» ряду обчислюється математичне сподівання (;). Потім знаходимо середнє від і середньоквадратичне відхилення s * =.
- Дисперсія
Для кожного В«шматкаВ» ряду обчислюється дисперсія (;). Потім вважаємо середнє від і середньоквадратичне відхилення s * =.
Рис. 2.3. Залежно середньоквадратичного відхилення D (M) і D (D) від.
У нашому випадку, критерієм стаціонарності є мінімум середньоквадратичного відхилення від значення автокореляційної функції, мінімум і.
Цій умові задовольняє В«шматокВ» ряду, довжиною.
Таким чином, вихідний ряд стационарен на періоді T = 21 год.
1. Оцінка математичного очікування
Перевіряємо
Г? спроможність оцінки для кожного стаціонарного В«шматкаВ» ряду.
,
де - математичне очікування на стаціонарному періоді
- середнє значення в залежності від числа даних
Г? незміщеною оцінки
M [a *] = a,
Номер інтервалу
1
2
3
4
5
6
7
8
M [a *]
0,40938
0,41218
0,41058
0,41152
0,40758
0,41118
0,41259
0,40985
a
0,40714
0,40661
0,40437
0,4080
0,40492
0,40906
0,41206
0,41018
2. Оцінка дисперсії
Перевіряємо
Г? спроможність оцінки для кожного стаціонарного В«шматкаВ» ряду.
,
де - середньоквадратичне відхилення на стаціонарному періоді
- середньоквадратичне відхилення в Залежно від числа даних
Г? незміщеною оцінки
M [a *] = a,
Номер інтервалу
1
2
3
4
5
6
7
8
M [a *]
0,11862
0,11507
0,11944
0,12...
