Вища математика
Криві другого порядку
Квадратичні форми
Зміст
1. Поняття квадратичної форми і способи її записи
2. Знакоопределенность квадратичних форм
3. Критерії позитивної та негативної визначеності
Література
1. Поняття квадратичної форми і способи її записи
квадратичних форм j (х 1 , х 2 , ..., x n ) n дійсних змінних х 1 , х 2 , ..., x n називається сума виду
, (1)
де a ij - деякі числа, звані коефіцієнтами. Не обмежуючи спільності, можна вважати, що a ij = a ji .
Квадратична форма називається дійсною, якщо a ij ГЋ ГR. Матрицею квадратичної форми називається матриця, складена з її коефіцієнтів. Квадратичної формі (1) відповідає єдина симетрична матриця
тобто А Т = А. Отже, квадратична форма (1) може бути записана в матричному вигляді j (х) = х Т Ах, де
х Т = (х 1 х 2 ... x n ). (2)
І, навпаки, всякої симетричної матриці (2) відповідає єдина квадратична форма з точністю до позначення змінних.
Рангом квадратичної форми називають ранг її матриці. Квадратична форма називається невиродженої, якщо невиродженої є її матриця А. (нагадаємо, що матриця А називається невиродженої, якщо її визначник не дорівнює нулю). В іншому випадку квадратична форма є виродженою.
Приклад 1.
Записати матрицю квадратичної форми
j (х 1 , х 2 , x 3 ) = - 6х 1 х 2 - 8х 1 х 3 + + 4х 2 х 3 -
і знайти її ранг.
Рішення.
Гћ r (A) = 3 Гћ
квадратична форма невирождени.
2. Знакоопределенность квадратичних форм
Квадратична форма (1) називається позитивно певної (або строго позитивної), якщо j (х)> 0, для будь-якого х = (х 1 , х 2 , ..., x n ), крім х = (0, 0, ..., 0).
Матриця А позитивно певної квадратичної форми j (х) також називається позитивно певної. Отже, позитивно певної квадратичної формі відповідає єдина позитивно певна матриця і навпаки.
Квадратична форма (1) називається негативно певної (або строго негативною), якщо j (х) <0, для будь-якого х = (х 1 , х 2 , ..., x n ), крім х = (0, 0, ..., 0).
Аналогічно як і вище, матриця негативно певної квадратичної форми також називається негативно визначеною.
Отже, позитивно (негативно) визначена квадратична форма j (х) досягає мінімального (Максимального) значення j (х *) = 0 при х * = (0, 0, ..., 0).
Відзначимо, що велика частина квадратичних форм не є знакоопределеннимі, тобто вони не є ні позитивними, ні негативними. Такі квадратичні форми звертаються в 0 не тільки на початку системи координат, але і в інших точках.
Приклад 2.
Визначити знакоопределенность наступних квадратичних форм.
1)
Гћ
т. тобто квадратична форма є позитивно визначеною.
2)
Гћ
т. тобто квадратична форма є негативно визначеною.
3)
Гћ
дана квадратична форма не є знакоопределенной, так як вона дорівнює 0 у всіх точках прямої х 1 =-Х 2 , а не тільки на початку системи координат.
Коли n> 2 потрібні спеціальні критерії для перевірки знакоопределенності квадратичної форми. Розглянемо їх.
Головними минорами квадратичної форми називаються мінори:
тобто це мінори порядку 1, 2, ..., n матриці А, розташовані в лівому верхньому кутку, останній з них збігається з визначником матриці А.
3. Критерій позитивної і негативною визначеності
Критерій позитивної визначеності (критерій Сильвестра)
Для того щоб квадратична форма j (х) = х Т Ах була позитивно певної, необхідно і достатньо, що всі головні мінори матриці А були позитивні, тобто:
М 1 > 0, M 2 > 0, ..., M n > 0.
Критерій негативною визначеності
Для того щоб квадратична форма j (х) = х Т Ах була негативно певної, необхідно і достатньо, щоб її головні мінори парного порядку були позитивні, а непарного - негативні, тобто:
М 1 <0, M 2 > 0, М 3 <0, ..., (-1) n M n > 0.
Приклад 3.
При яких значеннях а і в квадратична форма буде позитивно певної?
j (х 1 , х 2 , x 3 ) =
Рішення.
Побудуємо матрицю А і знайдемо її головні мінори.
М 1 = 1> 0,
= а - 1> 0 Гћ а> 1.
= ав - а - в> 0 Гћ в>.
Відповідь:
а> 1, в>.
Приклад 4.
При яких значеннях а і в квадратична форма буде негативно певної?
j (х 1 , х 2 , x 3 ) =
Рішення.
М 1 = -1 <0,
=-а - 1> 0 Гћ а <-1.
=-ав - а - в <0 Гћ в> -.
Відповідь
а <-1, в> -.
Приклад 5.
Довести, що квадратична форма
j (х 1 , х 2 , x 3 ) =
позитивно визначена.
Рішення.
Скористаємося критерієм Сильвестра. Побудуємо матрицю А і знайдемо головні мінори матриці А.
М 1 = 6> 0, = 26> 0, М 3 = Гљ А Г§ = 162> 0
Гћ j (х 1 , х 2 , x 3 )
позитивно певна квадратична форма.
Література
1. Гусак А. А. Аналітична геометрія та лінійна алгебра. - Мн.: Тетрасістемс, 1998.
2. Овсеец М. І., Світла Є. М. Збірник задач з вищої математиці. Навчальне видання. - Мн.: ЧІУіП, 2006. - 67 с.
