Кафедра вищої математики
Курсова робота
За лінійної алгебри та аналітичної геометрії
В«Криві і поверхні другого порядкуВ»
Дубна 2002
Зміст
Введення
Частина I. Дослідження кривої другого порядку
1. Визначення типу кривої за допомогою інваріантів
2. Приведення до канонічного вигляду
3. Побудова графіків
4. Висновок
Частина II. Дослідження поверхні другого порядку
1. Визначення типу поверхні.
2. Приведення до канонічного вигляду
3. Дослідження форми поверхні методом перетинів
4. Графіки рівняння поверхні.
5. Висновок
Введення
Мета:
Метою даної курсової роботи є дослідження кривої і поверхні другого порядку. Закріплення теоретичних знань та практичних навичок з вивчення й аналізу властивостей кривих і поверхонь другого порядку.
Постановка завдання:
I) Для даного рівняння кривої другого порядку:
1) Визначити тип кривої за допомогою інваріантів.
2) При a = 0 записати канонічне рівняння прямий і визначити розташування центру
3) Привести рівняння до канонічного виду, застосовуючи паралельний перенос і поворот координатних осей.
II) Для даного рівняння площини другого порядку:
1) Досліджувати форму поверхні методом перетинів площинами, побудувати лінії, отримані в перетинах.
2) Побудувати поверхня в канонічній системі координат.
Частина I. Дослідження кривої другого порядку
1. Визначення типу кривої за допомогою інваріантів
Для даного рівняння кривої другого порядку:
(5 - a) x 2 + 4xy + 3y 2 + 8x - 6y +5 = 0 (3.1)
визначити залежність типу кривої від параметра a з допомогою інваріантів.
Для даного рівняння кривої другого порядку:
a 11 = 5 - a, a 12 = 2, a 13 = 4, a 22 = 2, a 23 = -3, a 33 = 5
Обчислимо інваріанти:
I 1 = a 11 + a 22 = (5 - a) +2 = 7 - a
I 2 === (5 - a) 2 - 4 = 6-2a
I 2 === (5 - a) 10-24-24-32-9 (5 - a) -20 =-a-95
Згідно класифікації кривих другого порядку:
I. Якщо I 2 = 0, то дане рівняння (3.1) визначає криву параболічного типу:
I 2 = 6 - 2a = 0, отже, при a = 3 рівняння визначає криву параболічного типу .
При a = 3 I 3 = - a - 95 = -3 - 95 = 98 В№ 0. Значить, при a = 3 рівняння (3.1) задає параболу .
Якщо I 2 В№ 0, то задається крива є центральної. Отже, при a В№ 3 дане рівняння задає центральну криву.
1. Якщо I 2 > 0, то рівняння задає криву еліптичного типу:
Значить, при a <3 рівняння (3.1) задає криву еліптичного типу.
a. Якщо I 1 I 3 <0, то рівняння визначає еліпс:
I 1 I 3 = - (7 - a) (a +95) = a 2 +88 a-665 <0, при вирішенні отримуємо a ГЋ (-95, 7). Отже, при a ГЋ (-95, 3) рівняння (3.1) задає еліпс .
b. Якщо I 1 I 3 > 0, то рівняння визначає еліпс:
I 1 I 3 = a 2 +88 a-665> 0, при вирішенні отримуємо a ГЋ (- ВҐ, -95). Отже, при a ГЋ (- ВҐ, -95) рівняння (3.1) задає уявний еліпс .
c. Якщо I 3 = 0, то рівняння визначає дві уявні пересічні прямі:
I 3 =-a - 95 = 0, при вирішенні отримуємо a - 95. Отже, при a = - 95 рівняння (3.1) задає два уявні пересічні прямі .
2. Якщо I 2 <0, то рівняння задає криву гіперболічного типу:
Значить, при a> 3 рівняння (3.1) задає криву гіперболічного типу.
a. Якщо I 3 В№ 0, то рівняння визначає гіперболу:
I 3 =-a - 95 В№ 0, отримуємо a В№ -95. Отже, при a ГЋ (3, + ВҐ) рівняння (3.1) задає гіперболу .
Згідно з отриманими даними, побудуємо таблицю:
a ГЋ (- ВҐ, -95)
a = -95
a ГЋ (-95, 3)
a = 3
a ГЋ (3, + ВҐ)
Уявний еліпс
Дві уявні пересічні прямі
Еліпс
Парабола
Гіпербола
2. Приведення до канонічного виду
При a = 0 рівняння (3.1) приймає вид:
5x 2 + 4xy + 2y 2 + 8x - 6y + 5 = 0 (3.2)
Наведемо рівняння кривої (3.2) до канонічного виду, застосовуючи перетворення паралельного переносу і повороту координатних осей. Ми встановили, що дана крива - центральна, тому використовуємо методику приведення до канонічного виду для рівняння центральної кривої.
a) Характеристичне рівняння для даної кривої буде мати вигляд:
A (x, y) = 5x 2 + 4xy + 2y 2
Звідки випливає, коріння характеристичного рівняння є: l 1 = 1, l 2 = 6.
Розташування еліпса щодо початкової системи координат буде відомо, якщо ми будемо знати координати центру і кутовий коефіцієнт речовій осі еліпса.
Рівняння для визначення координат центру мають вигляд:
Звідки ми знаходимо x 0 = - і y 0 =. Отже, точка O Вў (-,) є центр даної кривої.
Кутовий коефіцієнт осі O Вў X можемо визначити за формулою:
б) Здійснимо паралельний перенос початку координат в точку O Вў (x 0 , y 0 ). При цьому координати x, y довільної точки площині в системі координат xOy і координати x ', y ' в новій системі координат x ' O ' y 'зв'язані співвідношеннями:
Підставивши дані вирази в рівняння (3.1), отримаємо:
5 (x 0 + x Вў) 2 + 4 (x 0 + x Вў) (y 0 + y Вў) + 2 (y 0 + y Вў) 2 + 8 (x 0 + x Вў) - 6 (y 0 + y Вў) + 5 = 0
Розкривши дужки і привівши подібні члени, отримаємо:
5x Вў 2 +4 x Вў y Вў +2 y Вў 2 + (10x 0 +4 x 0 + 8) x Вў + (4x 0 + 4y 0 - 6) y Вў + (5x 0 2 + 4x 0 y 0 + 2y 0 2 + 8x 0 - 6y 0 + 5) = 0 (3.3)
В даному рівнянні коефіцієнти при x Вў і y Вў прирівняємо до нуля і отримаємо систему рівнянь:
Вирішивши цю систему рівнянь, ми отримаємо, знайдені вже раннє, координати центру O Вў , x 0 = - і y 0 =. Підставивши дані значення в рівняння (3.3), коефіцієнти при x Вў і y Вў стануть рівними нулю, ми отримаємо рівняння в системі координат x ' O ' y ':
5x Вў 2 + 4x Вў y Вў + 2y Вў 2 + () = 0
5x Вў 2 + 4x Вў ...
