Зміст
Введення
Глава I. Школа піфагорійців
1.1 Розвиток математики як теорії
1.2 Поворотний пункт в історії античної математики
Глава II. Проблема нескінченності
Глава III. Період Академії
3.1 Період самостійної діяльності греків
3.2 Період занепаду
Висновок
Список літератури
Введення
Поняття давньогрецька математика охоплює досягнення грецькомовних математиків, які жили в період між VI століттям до н.е. і V століттям н.е.
Математика народилася в Греції. Це, звичайно, перебільшення, але не надто велике. У країнах-сучасників Еллади математика використовувалася або для повсякденних потреб (підрахунки, вимірювання), або, навпаки, для магічних ритуалів, що мали на меті з'ясувати волю богів. Греки підійшли до справи з іншого боку: вони висунули зухвалий теза "Числа правлять світом ". Або, як сформулювали цю ж думку два тисячоліття тому: "Природа розмовляє з нами мовою математики".
Греки перевірили справедливість цієї тези в тих областях, де зуміли: астрономія, оптика, музика, геометрія, пізніше - механіка. Усюди були відзначені вражаючі успіхи.
Створення нових і подальше розвиток існуючих математичних теорій пов'язано звичайно з уточненням (узагальненням) їх вихідних основних понять і посилок і заснованих на них методів. Математики нерідко зустрічалися з труднощами, подолати які їм вдавалося лише після тривалих пошуків.
Глава I. Школа піфагорійців
1.1 Розвиток математики як теорії
Математика як теорія отримала розвиток у школі Піфагора (571-479 рр.. до н.е.).
Головною заслугою піфагорійців в галузі науки є істотне розвиток математики як за змістом, так і за формою. За змістом - відкриття нових математичних фактів. За формою - побудова геометрії та арифметики як теоретичних, доказових наук, які вивчають властивості абстрактних понять про числах і геометричних формах.
Дедуктивное побудова геометрії стало потужним стимулом її подальшого зростання.
Піфагорійці розвинули й обгрунтували планіметрію прямолінійних фігур: вчення про паралельні лінії, трикутниках, чотирикутник, правильних многоугольниках. Отримала розвиток елементарна теорія окружності і кола.
Наявність у піфагорійців вчення про паралельні лініях говорить про те, що вони володіли методом докази від протилежного і вперше довели теорему про суму кутів трикутника. Вершиною досягнень піфагорійців в планіметрії є доказ теореми Піфагора. Остання за багато століть раніше була сформульована вавілонськими, китайськими і індійськими вченими, проте її доказ їм не було відомо.
Успіхи піфагорійців в стереометрії були значними. Вони займалися вивченням властивостей кулі, відкрили побудова чотирьох правильних многокутників - тетраедра, куба, октаедра і Додекаедр (ікосаедр досліджував згодом Геетет).
Однак вони не змогли обгрунтувати твердження, що відносяться до обсягів тел (піраміди, конуса, циліндра і кулі), хоча, звичайно, ці твердження були встановлені емпірично багато століть раніше. Не знали піфагорійці і відносини поверхні кулі до великого кола. В області арифметики піфагорійці вивчали властивості парних і непарних, і складових натуральних чисел, шукали скоєні числа, тобто такі, які дорівнюють сумі всіх своїх дільників (наприклад, 6 = 1 +2 +3; 28 = 1 +2 +4 +7 +14).
Піфагорійці знали також дробові числа і в цьому зв'язку розробили теорію арифметичній і геометричній пропорцій. Вони володіли поняттями середнього арифметичного, середнього геометричного і середнього гармонічного.
1.2 Поворотний пункт в історії античної математики
Хоч як великі заслуги піфагорійців у розвитку змісту і систематизації геометрії і арифметики, проте всі вони не можуть зрівнятися зі зробленим ними ж відкриттям несумірних величин. Це відкриття стало поворотним пунктом в історії античної математики.
З приводу цього відкриття Аристотель говорив, що Піфагор показав, що якби діагональ квадрата була б сумірна з його стороною, то парне дорівнювало б непарному.
Це зауваження Аристотеля ясно показує, що при доказі несумірності діагоналі квадрата з його стороною Піфагор використовував метод від супротивного.
Наприкінці V століття до н.е. Феодор з Кирени встановив, що несумірність діагоналі квадрата з його стороною не є винятком. Він показав, що сторони квадратів, площі яких дорівнюють 3, 5, 6, ..., 17 несумірні зі стороною одиничного квадрата. Піфагор вчив, що сутність усіх речей є число; число - самі речі; гармонія чисел - гармонія самих речей. Аристотель говорив, що в піфагорійців числа приймалися за початок і в якості матерії і в якості [вираження для] їх стану і властивостей.
Відкриття несумірних величин спочатку "викликала здивування" (Арістотель). Це природно: до відкриття Піфагора давньогрецькі математики вважали, що будь-які два відрізки мають спільну міру, хоча, може бути, і дуже малу. Коли, однак, піфагорійці переконалися, що доказ існування несумірних величин бездоганно, вони зрозуміли, що їх філософія опинилася в скрутному становищі.
Піфагорійці знали тільки позитивні цілі і дробові числа. Дотримуючись своєї філософської установці, вони, по суті справи, вважали, що кожна річ може бути охарактеризована позитивним цілим або дробовим числом, яке "виражає сутність" цієї речі. На ділі це означало, що геометрія будувалася на базі арифметики. Відкриття несумірних відрізків знаменувало, тому початок кризи пифагорейской філософії і методологічних основ развиваемой ними системи математики. Після виявлення існування несумірних величин перед піфагорійцями відкрилися дві можливості. Можна було спробувати розширити поняття числа за рахунок приєднання до раціональним числам чисел ірраціональних, охарактеризувати несумірні величини числами інший природи і таким чином відновити силу філософського принципу "все є число".
Однак цей шлях настільки природний і простий з сучасної точки зору, для піфагорійців був закритий. У цьому випадку треба було побудувати досить сувору арифметичну теорію дійсних чисел, що при рівні піфагорейської математики було справою нездійсненним. Тому треба було йти по іншому шляху - по шляху певного перегляду вихідних принципів, наприклад, прийняти, що геометричні об'єкти є величинами більш загальної природи, ніж дробові і цілі числа, і намагатися будувати всю математику не на арифметичній, а на геометричній основі. Саме цей другий шлях і обрали піфагорійці, а слідом за ними більшість давньогрецьких математиків, аж до Архімеда і Аполлонія.
Глава II. Проблема нескінченності
У давньогрецькій філософії поняття нескінченності з'явилося вперше у матеріалістів мілетської школи. Анаксимандр (610-546 рр.. до н.е.), наступник Фалеса, вчив: матерія нескінченна в просторі і в часу; всесвіт нескінченний, число світів нескінченно. Анаксимен (546 р. до н.е. - Розквіт діяльності) говорив: вічний кругообіг матерії - це і є нескінченність.
Поняття нескінченності як математична категорія вперше з'являється у Анаксігора (близько 500-428 рр.. до н. е.). У творі "Про природу" Анаксігор писав: речі нескінченно подільні, немає останнього ступеня подільності матерії, з іншого боку, завжди є щось Найбільше, що є великим.
Нескінченність для Анаксігора - потенційна; вона існує у двох формах: як нескінченно мале і нескінченно велике. В математиці точка зору Анаксагора знайшла сприятливий грунт завдяки відкриттю несумірних величин - величин, які не можуть бути виміряні будь, який завгодно малої, загальною мірою.
Демокріт (близько 560-570 рр.. до н.е.), по-видимому, вивчав так звані рогоподібні кути (кути, утворені дугою окружності і дотичній до неї).
Оскільки кожен роговідний кут "Менше" будь-якого прямолінійного кута, тут з'являється поняття актуа...