Зміст
1. Роль математики в сучасному світі. Основні етапи розвитку
2. Аксіоматичний метод побудови наукової теорії. Почала Евкліда як зразок аксіоматичної побудови наукової теорії. Історія створення неевклідової
3. Особливості математичного стилю мислення ........................................... 11
Список
Введення
Математика є експериментальною наукою - частиною теоретичної фізики та членом сімейства природничих наук. Основні принципи побудови і викладання всіх цих наук застосовні і до математики. Мистецтво суворого логічного міркування і можливість отримувати цим способом надійні висновки не повинно залишатися привілеєм Шерлока Холмса - кожен школяр повинен опанувати цим умінням. Вміння складати адекватні математичні моделі реальних ситуацій повинно складати невід'ємну частину математичної освіти. Успіх приносить не стільки застосування готових рецептів (жорстких моделей), скільки математичний підхід до явищ реального світу. При всьому величезному соціальному значенні обчислень (і computer science), сила математики не в них, і викладання математики не повинно зводитися до обчислювальних рецептами.
"No star wars - no mathematics", - кажуть американці. Той прикрий факт, що з (тимчасовим?) припиненням військового протистояння математика, як і всі фундаментальні науки, перестала фінансуватися, є ганьбою для сучасної цивілізації, що визнає тільки "прикладні" науки, провідною себе абсолютно подібно свині під дубом.
На Насправді ніяких прикладних наук не існує і ніколи не існувало, як це зазначив понад сто років тому Луї Пастер (якого важко запідозрити в заняттях, не потрібних людству). Згідно Пастеру, існують лише додатки науки [1].
Досліди з бурштином і котячим хутром здавалися марними правителям і воєначальникам XVIII століття. Але саме вони змінили наш світ після того, як Фарадей і Максвелл написали рівняння теорії електромагнетизму. Ці досягнення фундаментальної науки окупили всі витрати людства на неї на сотні років вперед. Відмова сучасних правителів платити за цим рахунком - дивно недалекоглядна політика, за яку відповідні країни, безсумнівно, будуть покарані технологічної і отже економічної (а також і військової) відсталістю. Людство в цілому (перед яким адже варто важка задача виживання в умовах мальтузіанського кризи) повинне буде заплатити важку ціну за короткозоро-егоїстичну політику складових його країн.
Математичне співтовариство несе свою частку відповідальності за повсюдно спостерігається тиск з боку урядів і суспільства в цілому, спрямоване на знищення математичної культури як частини культурного багажу кожної людини і в особливості на знищення математичної освіти.
Вихолощене і формалізоване викладання математики на всіх рівнях зробилося, до нещастя, системою. Виросли цілі покоління професійних математиків і викладачів математики, які вміють тільки це і не уявляють собі можливості якого іншого викладання математики.
1. Роль математики в сучасному світі. Основні етапи розвитку математики
Метою вивчення математики є підвищення загального кругозору, культури мислення, формування наукового світогляду.
Математика - наука про кількісних відносинах і просторових формах дійсного світу. Академік Колмогоров А.Н. виділяє чотири періоди розвитку математики [2]:
В· зародження математики,
В· елементарна математика,
В· математика змінних величин,
В· сучасна математика.
Початок періоду елементарної математики відносять до VI-V століття до нашої ери. До цього часу був накопичений досить великий фактичний матеріал. Розуміння математики, як самостійної науки виникло вперше в Стародавній Греції. В Протягом цього періоду математичні дослідження мають справу лише з досить обмеженим запасом основних понять, що виникли для задоволення самих простих запитів господарського життя. Розвивається арифметика - наука про число.
В період розвитку елементарної математики з'являється теорія чисел, що виросла поступово з арифметики. Створюється алгебра, як буквене числення. Узагальнюється працю великого числа математиків, що займаються рішенням геометричних задач в струнку і строгу систему елементарної геометрії геометрію Евкліда, викладену в його чудовій книзі Почала (300 років до н. е..).
У XVII столітті запити природознавства і техніки привели до створення методів, що дозволяють математично вивчати рух, процеси зміни величин, перетворення геометричних фігур. З вживання змінних величин в аналітичній геометрії і створення диференціального й інтегрального числення починається період математики змінних величин. Великим відкриттям XVII століття є введена Ньютоном і Лейбніцем поняття нескінченно малої величини, створення основ аналізу нескінченно малих (математичного аналізу). На перший план висувається поняття функції. Функція стає основним предметом вивчення. Вивчення функції призводить до основним поняттям математичного аналізу: межі, похідної, диференціалу, інтегралу.
До цього часу відносяться і поява геніальної ідеї Р. Декарта про метод координат. Створюється аналітична геометрія, яка дозволяє вивчати геометричні об'єкти методами алгебри та аналізу. З іншого боку метод координат відкрив можливість геометричній інтерпретації алгебраїчних і аналітичних фактів [3].
Подальше розвиток математики привело на початку ХIX століття до постановки завдання вивчення можливих типів кількісних відносин і просторових форм з досить загальної точки зору. Зв'язок математики і природознавства набуває все більш складні форми. Виникають нові теорії. Нові теорії виникають не тільки в результаті запитів природознавства і техніки, а й в результаті внутрішньої потреби математики. Чудовим прикладом такої теорії є уявна геометрія Н. І. Лобачевського. Розвиток математики в XIX і XX століттях дозволяє віднести її до періоду сучасної математики. Розвиток самої математики, математизація різних галузей науки, проникнення математичних методів в багато сфер практичної діяльності, прогрес обчислювальної техніки призвели до появи нових математичних дисциплін, наприклад, дослідження операцій, теорія ігор, математична економіка та інші.
В основі побудови математичної теорії лежить аксіоматичний метод. В основу наукової теорії кладуться деякі вихідні положення, звані аксіомами, а всі інші положення теорії виходять, як логічні наслідки аксіом. Основними методами в математичних дослідженнях є математичні докази - Суворі логічні міркування. Математичне мислення не зводиться лише до логічних міркувань. Для правильної постановки завдання, для оцінки вибору способу її вирішення необхідна математична інтуїція.
У математиці вивчаються математичні моделі об'єктів. Одна і та ж математична модель може описувати властивості далеких один від одного реальних явищ. Так, одне і теж диференціальне рівняння може описувати процеси росту населення і розпад радіоактивної речовини. Для математика важлива не природа розглянутих об'єктів, а існуючі між ними відносини.
У математиці використовують два види умовиводів: дедукція та індукція [4].
Індукція - метод дослідження, в якому загальний висновок будується не основі приватних посилок.
Дедукція - спосіб міркування, за допомогою якого від загальних посилок слід висновок приватного характеру.
Математика відіграє важливу роль в природничонаукових, інженерно-технічних та гуманітарних дослідженнях. Причина проникнення математики в різні галузі знань полягає в тому, що вона пропонує досить чіткі моделі для вивчення навколишньої дійсності на відміну від менш загальних і більш розпливчастих моделей, пропонованих іншими науками. Без сучасної математики з її розвиненим логічними і обчислювальним апаратом був би неможливий прогрес у різних областях людської діял...
