Муніципальне Освітнє Установа
Середня Загальноосвітня школа № 4
Конічні перетину
Виконав
Спиридонов Антон
учень 11 А класу
Перевірив
Коробейникова А. Т.
Тобольськ - 2006
ЗМІСТ.
Введення
Поняття конічних перетинів
Види конічних перетинів
Дослідження
Побудова конічних перетинів
Аналітичний підхід
Застосування
Додаток
Список літератури
Введення.
Мета: вивчити конічні перетину.
Завдання: навчитися розрізняти види конічних перетинів, будувати кініческой перетину і застосовувати аналітичний підхід.
Конічні перетини вперше запропонував використовувати давньогрецький геометр Менехм, який жив у IV столітті до нашої ери, при вирішенні задачі про подвоєння куба. Цю задачу пов'язують з наступною легендою.
Одного разу на острові Делосі спалахнула епідемія чуми. Жителі острова звернулися до оракула, який сказав, що для припинення епідемії треба збільшити вдвічі золотий жертовник, який мав форму куба і знаходився в храмі Аполлона в Афінах. Остров'яни виготовили новий жертовник, ребра якого були вдвічі більше ребер колишнього. Однак чума не припинилася. Розгнівані мешканці почули від оракула, що невірно зрозуміли його припис - подвоїти було треба не ребра куба, а його обсяг, тобто збільшити ребра куба в раз. У термінах геометричної алгебри, якою користувалися грецькі математики, завдання означала: за даним відрізку а знайти такі відрізки х і y такі, що а: х = х: y = y: 2a. Тоді довжина відрізка х буде дорівнювати.
Наведену пропорцію можна розглядати як систему рівнянь:
Але x 2 = ay і y 2 = 2ax - це рівняння парабол. Тому для вирішення завдання слід відшукати точки їх перетину. Якщо ж врахувати, що з системи можна отримати і рівняння гіперболи xy = 2a 2 , то цю ж задачу можливо вирішити знаходженням точок перетину параболи з гіперболою.
Для отримання конічних перетинів Менехм перетинав конус - гострокутний, прямокутний або тупоугольние - площиною, перпендикулярної однією з утворюючих. Для гострокутного конуса переріз площиною, перпендикулярної до його твірної, має форму еліпса. Тупоугольние конус при цьому дає гіперболу, а прямокутний - Параболу.
Звідси відбулися і назви кривих, які були введені Аполлонієм Пергськім, що жили в III столітті до нашої ери: еліпс (ОО»О»ОµОЇП€ОЇП‚ ), Що означає вада, недолік (кута конуса до прямого); гіпербола (ПЌПЂОПЃОІП‰О»О·) - Перебільшення, перевагу (кута конуса над прямим); парабола (ПЂО±ПЃО±ОІОїО»О·) - Наближення, рівність (кута конуса прямого кута). Пізніше греки помітили, що всі три криві можна отримати на одному конусі, змінюючи нахил січної площині. При цьому слід брати конус, що складається з двох порожнин і мислити, що вони простягаються у безкінечність (Мал. 1).
Якщо провести перетин кругового конуса, перпендикулярне його осі, а потім повертати січну площину, залишаючи одну точку її перетину з конусом нерухомою, то побачимо, як окружність буде спочатку витягуватися, перетворившись на еліпс. Потім друга вершина еліпса піде у нескінченність, і замість еліпса вийде парабола, а потім площину припинить і другу порожнину конуса і вийде гіпербола.
Поняття конічних перетинів.
Конічні перетини - це плоскі криві, які виходять перетином прямого кругового конуса площиною, що не проходить через його вершину. З точки зору аналітичної геометрії конічний перетин являє собою геометричне місце крапок, що задовольняють рівнянню другого порядку. За винятком вироджених випадків, розглянутих в останньому розділі, конічними перерізами є еліпси, гіперболи або параболи (Мал. 2).
При обертанні прямокутного трикутника біля одного з катетів, гіпотенуза з її продовженнями описує конічну поверхню, звану поверхнею прямого кругового конуса, яка може бути розглянута як безперервний ряд прямих, проходять через вершину і званих утворюючими, причому всі створюючі спираються на одну і ту ж коло, звану виробляє. Кожна з утворюючих являє собою гіпотенузу обертового трикутника (у відомому його положенні), продовжену в обидві сторони до нескінченності. Таким чином, кожна твірна простягається по обидва боки від вершини, внаслідок чого і поверхня має дві порожнини: вони сходяться в одну точку в загальній вершині. Якщо таку поверхню перетнути площиною, то в перерізі вийде крива, яка і називається конічним перетином. Вона може бути трьох типів:
1) якщо площину перетинає конічну поверхню по всьому утворюючим, то розсікається тільки одна порожнину і в перетині виходить замкнута крива, звана еліпсом;
2) якщо січна площина перетинає обидві порожнини, то виходить крива, що має дві гілки та звана гіперболою;
3) якщо січна площина паралельна одній з утворюючих, то виходить парабола.
Якщо січна площина паралельна виробляє кола, то виходить окружність, яка може бути розглянута як окремий випадок еліпса. Січна площина може перетинати конічну поверхню тільки в одній вершині, тоді в перетині виходить точка, як окремий випадок еліпса.
Якщо площиною, що проходить через вершину, перетинаються обидві порожнини, то в перерізі виходить пара пересічних прямих, розглянута як окремий випадок гіперболи.
Якщо вершина нескінченно видалена, то конічна поверхня звертається в циліндричну, і перетин її площиною, паралельною утворюючим, дає пару паралельних прямих як окремий випадок параболи. Конічні перетину виражаються рівняннями 2-го порядку, загальний вигляд яких
Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
і називаються кривими 2-го порядку.
Види конічних перетинів.
Конічні перетину можуть бути трьох типів:
1) січна площина перетинає всі утворюють конуса в точках однієї його порожнини; лінія перетину є замкнута овальна крива - еліпс; окружність як окремий випадок еліпса виходить, коли січна площина перпендикулярна осі конуса.
2) Січна площина паралельна однією з дотичних площин конуса; в перетині виходить незамкнута, що йде в нескінченність крива - парабола, цілком лежача на одній порожнині.
3) Січна площину перетинає обидві порожнини конуса; лінія перетину - гіпербола - складається з двох однакових незамкнутих, що тягнуться в нескінченність частин (гілок гіперболи), лежачих на обох порожнинах конуса.
Дослідження.
У тих випадках, коли конічні перетин має центр симетрії (центр), тобто є еліпсом або гіперболою, його рівняння може бути приведене (шляхом перенесення початку координат в центр) до вигляду:
a 11 x 2 +2 a 12 xy + A 22 y 2 = a 33 .
Подальші дослідження таких (званих центральними) конічні перетини показують, що їх рівняння можуть бути приведені до ще більш простішого вигляду:
Ах 2 + Ву 2 = С,
якщо за напрямки осей координат вибрати головні напрямки - напрямки головних осей (осей симетрії) конічних перетинів. Якщо А і В мають однакові знаки (Збігаються зі знаком С), то рівняння визначає еліпс; якщо А і В різного знака, то - гіперболу.
Рівняння параболи привести до вигляду (Ах
