Новосибірський державний педагогічний університет.
Математичний факультет.
Кафедра алгебри.
Курсова робота з математики.
Многочлени
Виконала: студентка 35гр.
Голобокова О.В.
Науковий керівник:
старший викладач
Гейбука С.В.
р. Новосибірськ, 2008
Зміст
Введення
В§ 1. Многочлени від однієї змінної
Поняття многочлена. Ступінь многочлена
Рівність многочленів. Значення многочленів
Операції над многочленами
Схема Горнера
Коріння многочленів
Кратні корені многочлена
Раціональні корені многочлена
В§ 2. Задачі про многочленами
Висновок
Список літератури
Введення
Тема моєї курсової роботи "Многочлени".
У ній я хочу дати поняття многочлена, визначити операції над ними, розглянути способи знаходження залишків при діленні: схема Горнера. А так само розглянути види коренів: раціональні, кратні.
Для цього мені потрібно вивчити наукову та методичну літературу, підібрати і вирішити завдання по даній темі, включаючи олімпіадні.
У першій чолі своєї роботи я розглядаю основне поняття многочлена, операції над ними, вводжу визначення та основні поняття схеми Горнера, розглядаю кратні і раціональні корені многочлена. У другому розділі вирішую завдання, включаючи олімпіадні.
В§ 1. Многочлени від однієї змінної
Поняття многочлена. Ступінь многочлена
многочленами від змінної х будемо називати вираз виду
+ a 1 x + a 0, де n - натуральне число; а n , a n -1 , ..., a 1 , a 0 - будь-які числа, звані коефіцієнтами цього многочлена. Вирази a n x n , a n -1 x n -1 , ..., a 1 х, a 0 називаються членами многочлена, а 0 - Вільним членом.
Часто будемо вживати і такі терміни: a n - коефіцієнт при х n , а n-1 - коефіцієнт при х n-1 і т.д .
Прикладами многочленів є наступні вирази: 0х 4 +2 х 3 + (-3) х 3 + (3/7) х + ; 0х 2 +0 х +3; 0х 2 +0 х +0 . Тут для першого многочлена коефіцієнтами є числа 0, 2, - 3, 3/7,; при цьому, наприклад, число 2 - коефіцієнт при х 3 , а - вільний член.
Многочлен, у якого всі коефіцієнти дорівнюють нулю, називається нульовим.
Так, наприклад, многочлен 0х 2 +0 х +0 - нульовий.
Із запису многочлена видно, що він складається з декількох членів. Звідси і стався термін <<многочлен>> (багато членів). Іноді многочлен називають поліномом . Цей термін походить від грецьких слів ПЂОїО»О№ - багато і ОЅОїОјП‡ - член.
Многочлен від однієї змінної х будемо позначати так: f ( x), g ( x), h ( x) і т.д. наприклад, якщо перший наведених вище многочленів позначити f ( x), то можна записати: f ( x) = 0 x 4 +2 x 3 + (-3) x 2 +3/7 x + .
Для того щоб запис многочлена виглядала простіше і виглядала компактніше, домовилися про ряді умовностей.
Ті члени не нульовий многочлена, у коефіцієнти дорівнюють нулю, не записують. Наприклад, замість f ( x) = 0 x 3 +3 x 2 +0 x +5 пишуть: f ( x) = 3 x 2 +5 ; замість g ( x) = 0 x 2 +0 x +3 - < i> g ( x) = 3 . Таким чином, кожне число - це теж многочлен. Многочлен h ( x), у якого всі коефіцієнти дорівнюють нулю, тобто нульовий многочлен, записують так: h ( x) = 0 .
Коефіцієнти многочлена, що не є вільним членом і рівні 1, теж не записують. Наприклад, многочлен f ( x) = 2 x 3 +1 x 2 +7 x +1 можна записати так: f ( x) = x 3 + x 2 +7 x +1 .
Знак <<->> негативного коефіцієнта відносять до члена, що містить цей коефіцієнт, тобто, наприклад, многочлен f ( x) = 2 x 3 + (-3) x 2 +7 x + ( -5 ) записують у вигляді f ( x) = 2 x 3 -3 x 2 +7 x-5 . При цьому, якщо коефіцієнт, який не є вільним членом, дорівнює - 1, то знак "-" Зберігають перед відповідним членом, а одиницю не пишуть. Наприклад, якщо многочлен має вигляд f ( x) = x 3 + (-1) x 2 +3 x + (- 1), то його можна записати так: f ( x) = x 3 - x 2 +3 x-1 .
Може виникнути запитання: навіщо, наприклад, домовлятися про заміну 1 х на х в записі многочлена, якщо відомо, що 1 х = х для будь-якого числа х ? Справа в тому, що останнє рівність має місце, якщо х - число. У нашому ж випадку х - елемент довільної природи. Більш того запис 1 х ми поки не маємо права розглядати як твір числа 1 і елемента х , бо, повторюємо х - це не число. Саме такою обставиною і викликані умовності в записі многочлена. І якщо ми далі говоримо все-таки про твір, скажімо, 2 і х без всяких підстав, то цим допускаємо деяку нестрогого.
У зв'язку з умовностями в записі многочлена звертаємо увагу на таку деталь. Якщо мається, наприклад, многочлен f ( x) = 3х 3 -2х 2 -х +2 , то його коефіцієнти - це числа 3, - 2, - 1,2. Звичайно, можна було б сказати, що коефіцієнтами є числа 0, 3, - 2, - 1, 2, маючи на увазі таке подання даного многочлена: f ( x) = 0 x 4 -3 x 2 -2 x 2 - x +2 .
В Надалі для визначеності будемо вказувати коефіцієнти, починаючи з відмінного від нуля, в порядку їх слідування в записі многочлена. Так, коефіцієнтами многочлена f ( x) = 2 x 5 - x є числа 2, 0, 0, 0, - 1, 0. Справа в тому, що хоча, наприклад, член з х 2 в записі відсутня, це лише означає, що його коефіцієнт дорівнює нулю. Аналогічно вільного члена в запису немає, оскільки він дорівнює нулю.
Якщо мається многочлен f ( x) + a 1 x + a 0 і a n в‰ 0, то число n називають ступенем многочлена f ( x) ( або кажуть: f ( x) - n -го ступеня) і пишуть ст. f ( x) = n . У цьому випадку a n називається старшим коефіцієнтом , а a n x n - старшим членом даного многочлена.
Наприклад, якщо f ( x) = 5 x 4 -2 x +3 , то ст . f ( x) = 4 , старший коефіцієнт - 5, старший член - 5х 4 .
Розглянемо тепер многочлен f ( x) = a , де а - числ...
