Реферат Кратні інтеграли

Рис. 1

= (3)

1.2 Потрійний інтеграл

Поняття потрійного інтеграла вводиться за аналогією з подвійним інтегралом.

Нехай в просторі задана деяка область V, обмежена замкненою поверхнею S. Задамо в цій замкненій області безперервну функцію f (x, y, z). Потім розіб'ємо область V на довільні частини О”v i , вважаючи обсяг кожної частини рівним О”v i , і складемо інтегральну суму виду

, (4)

Межа при інтегральних сум (11), не залежний від способу розбиття області V і вибору точок P i в кожній підобласті цій області, називається потрійним інтегралом від функції f (x, y, z) по області V:

. (5)

Потрійний інтеграл від функції f (x, y, z) по області V дорівнює триразовому інтегралу по тій же області:

. (6)

1.3 Кратні інтеграли в криволінійних координатах

Введемо на площині криволінійні координати, звані полярними. Виберемо точку О (полюс) і що виходить з неї промінь (полярну вісь).

Рис. 2 Рис. 3

Координатами точки М (Рис. 2) будуть довжина відрізка МО - полярний радіус ПЃ і кут П† між МО і полярною віссю: М (ПЃ, П†). Відзначимо, що для всіх точок площини, крім полюса, ПЃ> 0, а полярний кут П† будемо вважати позитивним при вимірюванні його в напрямку проти годинникової стрілки і негативним - при вимірюванні в протилежному напрямку.

Зв'язок між полярними і декартовими координатами точки М можна задати, якщо поєднати початок декартової системи координат з полюсом, а позитивну піввісь Ох - з полярною віссю (рис. 3). Тоді x = ПЃcosП†, у = ПЃsinП†. Звідси, tg.

Задамо в області D, обмеженої кривими ПЃ = О¦ 1 (О¦) і ПЃ = О¦ 2 (П†), де П† 1 < П† <О¦ 2 , безперервну функцію z = f (П†, ПЃ) (рис. 4).

Рис. 4

Тоді

(7)

У тривимірному просторі вводяться циліндричні та сферичні координати.

Циліндричні координати точки Р (ПЃ, П†, z) - це полярні координати ПЃ, П† проекції цієї точки на площину Оху і аппликата даної точки z (рис.5).

Рис.5 Рис.6

Формули переходу від циліндричних координат до декартовим можна задати наступним чином:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (8)

У сферичних координатах положення точки в просторі визначається лінійною координатою r - відстанню від точки до початку декартової системи координат (або полюси сферичної системи), П† - полярним кутом між позитивною півосі Ох і проекцією точки на площину Оху, і Оё - кутом між позитивною півосі осі Оz і відрізком OP (Рис.6). При цьому

Задамо формули переходу від сферичних координат до декартовим:

x = r sinθ cosφ, y = r sinθ sinφ, z = r cosθ. (9)

Тоді формули переходу до циліндричним або сферичних координат у потрійному інтегралі будуть виглядати так:

, (10)

де F 1 і F 2 - функції, отримані при підстановці у функцію f замість x, y, z їх виразів через циліндричні (8) або сферичні (9) координати.

1.4 Геометричні та фізичні додатки кратних інтегралів

1) Площа плоскої області S: (11)

Приклад 1.

Знайти площу фігури D, обмеженої лініями

у = 2, у = 5.

Рішення.

Цю площу зручно обчислювати, вважаючи у зовнішньої змінної. Тоді кордону області задаються рівняннями і

де обчислюється за допомогою інтегрування по частинах:

Отже,

2) Обсяг ціліндроіда, то є тіла, обмеженого частиною поверхні S: z = f (x, y), обмеженою контуром L, проекцією D цієї поверхні на площину Оху і відрізками, паралельними осі Оz і з'єднують кожну точку контуру L з відповідною точкою площини Оху:

(12)

3) Площа частини криволінійної поверхні S, заданої рівнянням z = f (x, y), обмеженою контуром L:

(13)

де D - проекція S на площину Оху.

4) Момент інерції відносно початку координат О матеріальної плоскої фігури D:

(14)

Приклад 2.

Знайти момент інерції однорідної круглої пластинки

(x - a) 2 + (Y - b) 2 <4b 2 відносно початку координат.

Рішення.

В силу однорідності пластинки покладемо її щільність Оі (х, у) = 1.

Центр кола розташований в точці C (a, b), а його радіус дорівнює 2b.

Рівняння кордонів пластинки мають вигляд

Обчислимо кожен з отриманих інтегралів окремо.

Для обчислення інтеграла I 1 зробимо заміну:

при x = a - 2b при x = a + 2b

Для обчислення інтеграла I 2 перетворимо подинтегральную функцію за формулою різниці кубів:

Тоді

Отже,

Моменти інерції фігури D відносно осей Ох і Оу:

(15)

5) Маса плоскої фігури D змінної поверхневої густини Оі = О“ (х, у):

(16)

Приклад 3.

Знайти масу пластинки D щільності Оі = ух 3 , якщо

Рішення.

Координати центра мас плоскої фігури змінної поверхневої густини Оі = Оі (х, у):

(17)

Приклад 4.

Знайти центр ваги однорідної пластини D, обмеженою кривими у 2 = ах і

Рішення.

Так як пластина однорідна, тобто її щільність постійна, то можна прийняти її за одиницю.

Тоді

Знайдемо масу пластини, а для цього визначимо абсцису точки перетину обмежують її ліній:

Відповідно

6) Обсяг тіла V:

(18)

Приклад 5.

Знайти об'єм т...