Міністерство освіти Російської Федерації
Муніципальне загальноосвітній установа
"Середня загальноосвітня школа № 22 "
Квадратні рівняння і рівняння вищих порядків
Виконали:
Учні 8 "Б" класу
Кузнєцов Євген і Руді Олексій
Керівник:
Зеніна Алевтина Дмитрівна
викладач математики
Тюмень
2005
Зміст
Введення
Глава 1. Історія квадратних рівнянь і рівнянь вищих порядків
1.1 Рівняння в Стародавньому Вавілоні
1.2 Рівняння арабів
1.3 Рівняння в Індії
Глава 2. Теорія квадратні рівняння і рівняння вищих порядків
2.1 Основні поняття
2.2 Формули парного коефіцієнта при х
2.3 Теорема Вієта
2.4 Квадратні рівняння приватного характеру
2.5 Теорема Вієта для многочленів (рівнянь) вищих ступенів
2.6 Рівняння, зводяться до квадратних (біквадратние)
2.7 Дослідження біквадратних рівнянь
2.8 Формули Кордан
2.9 Симетричні рівняння третього ступеня
2.10 Зворотні рівняння
2.11 Схема Горнера
Висновок
Список використаної літератури
Додаток 1
Додаток 2
Додаток 3
Введення
Рівняння в шкільному курсі алгебри займають провідне місце. На їх вивчення відводиться часу більше, ніж на будь-яку іншу тему. Дійсно, рівняння не тільки мають важливе теоретичне значення, але і служать чисто практичним цілям. Переважна кількість задач про просторових формах і кількісних відносинах реального світу зводиться до вирішення різних видів рівнянь. Оволодіваючи способами їх вирішення, ми знаходимо відповіді на різні питання з науки і техніки (транспорт, сільське господарство, промисловість, зв'язок і т. д.).
У цьому рефераті хотілося б відобразити формули і способи вирішення різних рівнянь. Для цього приводяться рівняння, які не вивчаються в шкільній програмі. В основному це рівняння приватного характеру і рівняння вищих ступенів. Щоб розкрити цю тему наводяться докази цих формул.
Завдання нашого реферату:
- покращити навички розв'язання рівнянь
- напрацювати нові способи вирішення рівнянь
- вивчити деякі нові способи та формули для розв'язання цих рівнянь.
Об'єкт дослідження - елементарна алгебра Предмет дослідження рівняння. Вибір цієї теми грунтувався на тому, що рівняння є як в програмі початкової, так і в кожному наступному класі загальноосвітніх шкіл, ліцеїв, коледжів. Багато геометричні задачі, задачі з фізики, хімії та біології вирішуються за допомогою рівнянь. Рівняння вирішували двадцять п'ять століть тому. Вони створюються і сьогодні - як для використання в навчальному процесі, так і для конкурсних іспитів до вузів, для олімпіад самого високого рівня.
Глава 1. Історія квадратних рівнянь і рівнянь вищих порядків
1.1 Рівняння в Стародавньому Вавілоні
Алгебра виникла у зв'язку з вирішенням різноманітних задач за допомогою рівнянь. Зазвичай в задачах потрібно знайти одну або кілька невідомих, знаючи при цьому результати деяких дій, вироблених над шуканими і даними величинами. Такі завдання зводяться до вирішення одного або системи кількох рівнянь, до знаходження шуканих з допомогою алгебраїчних дій над даними величинами. В алгебрі вивчається загальні властивості дій над величинами.
Деякі алгебраїчні прийоми рішення лінійних і квадратних рівнянь були відомі ще 4000 років тому в Давньому Вавилоні. Необхідність вирішувати рівняння не тільки першої, але й другого ступеня ще в давнину була викликана потребою розв'язувати задачі, пов'язані із знаходженням площ земельних ділянок та з земельними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Як було сказано раніше, квадратні рівняння вміли розв'язувати близько 2000 років до нашої ери вавилонянами. Застосовуючи сучасну алгебраїчну запис, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються як неповні, так і повні квадратні рівняння.
Правило рішення цих рівнянь, викладене в вавілонських текстах, співпадає по суті з сучасними, проте невідомо, яким чином дійшли вавілоняни до цього правила. Майже всі знайдені досі клинописні тексти призводять тільки завдання з рішенням, викладеними у вигляді рецептів, без вказівок щодо того, яким чином вони були знайдені.
Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних текстах відсутнє поняття негативного числа і загальні методи вирішення квадратного рівняння.
1.2 Рівняння арабів
Деякі способи вирішення рівнянь як квадратних, так і рівнянь вищих ступенів були виведені арабами. Так відомий арабський математик Ал-Хорезмі у своїй книзі В«Ал - джабар В»описав багато способи вирішення різних рівнянь. Їх особливість була в тому, що Ал-Хорезмі застосовував складні радикали для знаходження коренів (рішень) рівнянь. Необхідність у вирішенні таких рівнянь була потрібна у питаннях про розподіл спадщини.
1.3 Рівняння в Індії
Квадратні рівняння вирішували і в Індії. Завдання на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному трактаті В«АріабхаттіамВ», складеному в 499 році індійським математиком і астрономом Аріабхаттой. Інший індійський учений, Брахмагупта (VII століття), виклав загальне правило рішення квадратних рівнянь, приведених до єдиної конічній формі:
Aх ВІ + bx = c, де a> 0
У цьому рівнянні коефіцієнти, крім а, можуть бути і негативними. Правило Брахмагупти по суті збігається з нашим.
У Стародавній Індії були поширені публічні змагання у вирішенні важких завдань. В одній із стародавніх індійських книг говориться з приводу таких змагань наступне: В«Як сонце блиском своїм затьмарює зірки, так вчений людина затьмарить славу іншого в народних зборах, пропонуючи і вирішуючи алгебраїчні задачі В». Завдання часто вдягалися у віршовану форму.
Різні рівняння як квадратні, так і рівняння вищих ступенів вирішувалися нашими далекими предками. Ці рівняння вирішували в самих різних і віддалених один від одного країнах. Потреба в рівняннях була велика. Рівняння застосовувалися в будівництві, у військових справах, і в побутових ситуаціях.
Глава 2. Квадратні рівняння та рівняння вищих порядків
2.1 Основні поняття
квадратне рівняння називають рівняння виду
ax ВІ + bx + c = 0,
де коефіцієнти a, b, c - будь дійсні числа, причому a в‰ 0.
Квадратне рівняння називають наведеним, якщо його старший коефіцієнт дорівнює 1.
Приклад :
x 2 + 2x + 6 = 0.
Квадратне рівняння називають не приведеним, якщо старший коефіцієнт відмінний від 1.
Приклад :
2x 2 + 8x + 3 = 0.
Повний квадратне рівняння - квадратне рівняння, в якому присутні всі три доданків, іншими словами, це рівняння, у якого коефіцієнти b і c відмінні від нуля.
Приклад :
3x 2 + 4x + 2 = 0.
Неповне квадратне рівняння - це квадратне рівняння, у якого хоча б один коефіцієнт b, c дорівнює нулю.
Таким чином, виділяють три види неповних квадратних рівнянь:
1) ax ВІ = 0 (має два співпадаючих кореня x = 0).
2) ax ВІ + bx = 0 (має два кореня x 1 = 0 і x 2 = -)
Приклад :
x 2 + 5x = 0
x (x +5) = 0
x 1 = 0, x 2 = -5.
...
