МІНІСТЕРСТВО освіти и науки України
Полтавський державний педагогічний університет
імені В.Г. Короленка Кафедра математичного анілізу та інформатики
Курсова робота з математики
ІНТЕГРАЛ СТІЛТЬЄСА Виконала студентка групи М-41 Лозіцька Тетяна Петрівна Науковий Керівник канд. фіз.-мат. наук, доцент Кононович Тетяна Олександрівна
Полтава-2008
ЗМІСТ
ВСТУП
В§ 1.Візначення інтегралу Стілтьєса
В§ 2. Існування інтегралу Стілтьєса
2.1. Загальні Умови існування інтегралу Стілтьєса.
2.2. Класи віпадків існування інтегралу Стілтьєса
В§ 3. Властивості інтегралу Стілтьєса
В§ 4. Інтегрування за ЧАСТИНА
В§ 5.Зведення інтеграла Стілтьєса до інтегралу Рімана
В§ 6. Обчислення інтегралів Стілтьєса
В§ 7. Приклади обчислення інтеграла Стілтьєса
В§ 8.Гранічній Перехід Під знаком інтеграла Стілтьєса
ВИСНОВКИ
Список використаних джерел
ВСТУП
Інтегрування у XIX сторіччі в основному пов'язано з теорією трігонометрічніх рядів. Інтеграл Стілтьєса виник в зовсім новій, нетрадіційній області, а самє в Теорії ланцюговіх дробів, залішаючісь в межах цієї Теорії ВІН БУВ Частина мало помітною, спеціфічнім узагальнення інтеграла Рімана. Таким ВІН БУВ близьким 15 РОКІВ. Ф. Пісс в 1910 р. надрукував замітку, змістом якої Була формула, Яки віражала інтеграл Стілтьєса від неперервної функції f (x) через інтеграл Лебега від деякої сумовної функції іншого аргументу.
Лебег пропонує на Основі даного ним представлення інтеграла Стілтьєса візначіті інтеграл Стілтьєса від розрівної функції. У 1914р. Юнг показавши, Що метод монотонних послідовностей, застосовання до інтеграла Стілтьєса, Досить просто виробляти до того ж узагальнення.
У зв'язку з переходом в простір більшого числа змінніх до кінця сформулювано точка зору на інтеграл, Як на функцію множини. Така точка зору стала особливо родючою для Теорії и дозволила Серед множини визначеня віділіті такє Поняття діференціювання, в термінах Якого ця теорія набуває єдиної форми, Незалежності від кількості змінніх.
Дана тема представлена в інтегральному чісленні и вівчається Як Додатковий Розділ курсу математичного аналізу.
Метою роботи є Вивчення умів існування, властівостей, методів обчислення інтеграла Стілтьєса. Відповідно до мети поставлені наступні завдання:
1. Ввести Означення інтегралу Стілтьєса.
2. Візначіті Умови Його існування та класи інтегрованіх за Стілтьєсом функцій.
3. Вівчіті процес зведення інтегралу Стілтьєса до інтегралу Рімана.
4. Розглянуті Приклади обчислення та граничні Перехід Під знаком інтегралу Стілтьєса
В§ 1. Визначення інтегралу Стілтьєса
Інтеграл Стілтьєса (Th.J. Stieltjes [1]) - є безпосереднім узагальнення звичайна інтегралу Рімана. Візначається ВІН Наступний чином:
Нехай на проміжку [A, b] задані Дві обмежені функції f (x) и g (x). Розкладемо точками
(1)
проміжок [a, b] на ЧАСТИНА и покладемо. Звертаючись у кожній з частин [] ( I = 0,1, ..., n -1 ) за цяткою обрахуємо Значення функції f (x) и помножімо Його на відповідній проміжку [] пріріст функції g (x)
Нарешті, складемо торбу Всіх таких добутків:
(2)
Ця сума має Назв суми Стілтьєса.
Скінченна границя суми Стілтьєса , коли прямує до нуля назівається інтегралом Стілтьєса функції f (x) no функції g (x) і позначається символом
(3)
Іноді, коли необхідно підкресліті, Що інтеграл розглядається у сенсі Стілтьєса, вжівають позначені
(S) або
Границя тут розуміється в тому ж сенсі, Що и у випадка Зі звичайна визначеня інтегралом. Точніше Кажучи, число I назівається інтегралом Стілтьєса, Якщо для будь-якого числа> 0 існує такє число> 0, Що Як Тільки проміжок [a, b] Розбита на ЧАСТИНА так, ЩО, одразу ж віконується нерівність, Яким бі чином не оббирати точки у відповідніх проміжках.
При існуванні інтеграла (3) кож говорять, Що функція на проміжку інтегровна по функції. Очевидно, Що єдина відміна даного визначення від Звичайна визначення інтегралу Рімана полягає в того, Що множитися не на пріріст незалежної змінної, а на пріріст Другої функції. Таким чином, інтеграл Рімана є часткова випадка інтегралу Стілтьєса, коли в ЯКОСТІ функції взято саму незалежну змінну: = [1; 8]
В§ 2. Існування інтегралу Стілтьєса
2.1 Загальні Умови існування інтегралу Стілтьєса
Встановімо Загальні Умови існування інтегралу Стілтьєса, обмежуючісь припущені, Що функція монотонно зростає.
Звідсі слідує, Що при тепер ВСІ, подібно тому, Як раніше Було. Це дозволяє послідовно замінюючі Ліше на повторіті ВСІ побудова.
Аналогічно до сум Дарбу, и тут доцільно ввести суми
,,
де и M i означають, відповідно, нижню и верхнього точні Межі функції в - тому проміжку. Ці суми будемо назіваті нижніх и верхнього сумами Дарбу-Стілтьєса. дерло за все, ясно, Що (при одному й тому самому розбітті), причому и Службовці точно межами для стілтьєсовіх торб. Самі ж суми Дарбу-Стілтьєса мают Дві наступні Властивості:
1. ЯКЩО до наявного двох точок розбіття Додати Нові точки, то нижня сума Дарбу-Стілтьєса Може від цього Ліше зроста, а верхня сума - Ліше зменшітіся.
2. Кожна Нижня сума Дарбу-Стілтьєса НЕ перебільшує кожної верхньої суми, хоча б и такій, Що відповідає іншому розбіттю проміжку.
ЯКЩО ввести Нижній и Верхній інтегралі Дарбу-Стілтьєса:
= і ,
то віявляється, що.
Нарешті, за допомог торб Дарбу-Стілтьєса легко Встановити для випадка, Що розглядається, Основні ознайо існування інтегралу Стілтьєса:
Теорема. Для існування інтегралу Стілтьєса необхідно и достатності, щоб віконувалося
, або, (4)
ЯКЩО Під, Як зазвічай, розуміті Коливань функції в-му проміжку.
2.2 Класа віпадків існування інтегралу Стілтьєса
1. ЯКЩО Функція А функція має обмеження зміну, то інтеграл Стілтьєса
(5)
існує.
Спочатку пріпустімо, Що монотонно зростає, тоді за довільно завдань, враховуючі рівномірну неперервність функції, знайдеться таке, Що на будь-якому проміжку, довжина Якого менше, Коливань буде менше за. Нехай тепер проміжок Розбита на ЧАСТИНА так, що. Тоді ВСІ <и
,
Звідки ї слідує виконан Умови (4), а, отже, и існування інтеграла кож.
У загально випадка, ЯКЩО функція має обмеження зміну, її можна представіті у вігляді двох ЗРОСТАЮЧИЙ обмеження функцій:. У відповідності до цього, перетворюється и торба Стілтьєса, Що відповідає функції:
Так, за Вже Доведення, шкірні Із сум и при прямує до граничної Межі, Це справедливо и відносно суми, Що и треба Було довести.
Можна послабіті Умова, Що накладаються на функцію ЯКЩО одночасно посіліті вимоги до функції:
2. ЯКЩО функція інтегровна на проміжку за Ріманом, а задовольняє умові Ліпшіця:
(6)
,
то інтеграл (5) існує.
Для того, щоб знов мати можлівість застосуваті встановленного Вище крітерій, пріпустімо Спочатку функцію Як таку, Що не Ліше задовольняє умові (6), альо и монотонно ЗРОСТАЮЧИЙ.
Враховуючі (6), очевидно, так, Що
Альо остання сума при и сама прямує до нуля, Як наслідок інтегровності (за Ріманом) функції, а тоді прямує до...
