Введення
В геометрії основну роль відіграють різні перетворення фігур. У школі докладно вивчаються рухи і гомотетии, а також їх застосування. Важливою особливістю цих перетворень є збереження ними природи найпростіших геометричних образів: прямі перетворюються в прямі, а окружності - в окружності. Інверсія являє собою більш складне перетворення геометричних фігур, при якому прямі вже можуть переходити в окружності і навпаки. Такий підхід дозволяє дати в застосуванні до завдань елементарної геометрії одноманітну методику вивчення. Це, перш за все, відноситься до завдань на побудову і до теорії пучків окружностей.
Слід зазначити, що розгляд зазначених розділів елементарної геометрії без застосування інверсії пов'язано із залученням різноманітних, здебільшого досить штучних побудов, що носять приватний характер.
Крім зазначених додатків, інверсія застосовується також у прикордонних питаннях елементарної геометрії і так званої вищої геометрії.
У даній роботі і розглядається перетворення, зване інверсією. Застосування перетворення інверсії при рішенні задач на побудову і доказ дозволяє вирішити ряд завдань, які важко вирішити за допомогою інших методів вирішення подібних завдань.
Вперше стали вивчати це перетворення в 30-х роках минулого століття.
Спосіб вирішення завдань, який розглядається в даній роботі, називається методом інверсії, або методом зворотних радіусів, або методом звернення.
Цей метод є найпотужнішим серед методів вирішення завдань на побудову, які можуть зіграти серйозну роль у математичній підготовці школяра, адже жоден вид завдань не дає, мабуть, стільки матеріалу для розвитку математичної ініціативи та логічних навичок учнів як геометричні задачі на побудову.
Дана дипломна робота присвячена перетворенню інверсії і її застосування у вирішенні завдань на побудова. Для зручності викладу матеріал розбитий на два розділи.
У першій главі докладно вивчається перетворення інверсії: розглядаються основні властивості інверсії. У другому розділі розглядається застосування інверсії до вирішення завдань на побудова, окремо розглядається задача Аполлонія і допоміжні завдання, застосовувані до вирішення цього завдання.
В кінці другої глави в роботі представлено додаток, в якому запропоновано рішення деяких задач, розв'язуваних за допомогою інверсії.
Робота включає в себе також вступ, висновок і список використаної літератури.
1. Інверсія як перетворення площині
1.1 Визначення інверсії. Побудова інверсних точок.
Нехай на площині дана деяка окружність щ (О, R) (Рис. 1)
Рис. 1
Нехай, далі, Р - довільна точка площини, відмінна від точки О. Зіставимо їй точку Рґ, яка задовольняла б двом умовам:
точка Рґ лежить на луче ОР; ОР ОРґ = R2.
Таку точку Рґ ми називаємо інверсної або зворотної точці Р відносно кола щ. Окружність щ називається базисною окружністю інверсії, її центр - центром інверсії, а радіус - Радіусом інверсії.
Перетворення, при якому кожній точці деякої фігури ставиться у відповідність інверсна їй точка, називається інверсією, а фігура, утворена всіма точками, інверсними точками даної фігури, називається інверсною по відношенню до даної фігурі.
Звернемо увагу на те, що при R = 1 ОРґ ​​= 1/ОР, так що їли точка Р інверсна точці Рґ, то відстані ОР і ОРґ є взаємно зворотними числами. З цим пов'язано те, що крапку Рґ називають зворотної точці Р, а розглянуте перетворення називається перетворенням зворотних радіусів (Відстаней), або ж зверненням.
Розглянемо побудову інверсних точок:
1 випадок.
Якщо точка Р Є (О, Р), то Рґ = Р (збігаються).
2 випадок.
Нехай точка Р поза базисної окружності.
Побудова.
1. щ (О, R) і Р - дана точка.
2. РК - Дотична до кола щ. До Є щ.
3. КРґ ┴ ОР, Рґ Є ОР, Рґ - інверсна точці Р. (рис 2).
Рис. 2.
Доказ.
Розглянемо подібні трикутники ОРК і ОКРґ. З подоби слід: = або ОР ОРґ = R2 .
Точка Рґ Є ОР (З побудови).
3 випадок.
Точка Р - всередині базисної окружності. Тоді побудова виконуємо в обратом порядку.
Побудова.
1. щ (О, R) і Р - дана точка.
2. РК в”ґ ОР, К Є щ.
3. КР - Дотична до кола.
1.2 Властивості інверсії
Перш, ніж розглянути властивості інверсії, встановимо одну просту лему, яка грає істотну роль при вивченні властивостей інверсії.
Лемма. Нехай інверсія ц переводить точки А і В відповідно в точки Аґ і Вґ (Передбачається, що точки А і В відмінні від точки О і нескінченно віддаленій точки і, крім того, точки О, А, В не лежать на одному промені з початком у точці О). Тоді трикутники ОАВ і ОАґВґ подібні і в€џ ОАВ = в€џ ОВґАґ, в€џ ОВА = в€џ ОАґВґ.
Доказ: У трикутників ОАВ і ОАґВґ (рис.3) є загальний кут, а сторони, що укладають цей кут, пропорційні. Дійсно, так як ОАОАґ = ОВОВґ = r2, то =. Звідси випливає, що трикутники ОАВ і ОАґВґ подібні.
Рис 3.
Але так як проти пропорційних сторін у подібних тре6угольніках лежать рівні кути, то зі співвідношення = випливає рівність відповідних кутів: в€џ ОАВ = в€џ ОВґАґ, в€џ ОВА = в€џ ОАґВґ.
Лемма доведена.
Теорема 1. Інверсія ц переводить будь-яку пряму, що проходить через центр інверсії, саму на себе, тобто пряма, що проходить через центр інверсії, тобто інваріантна фігура.
Доказ цієї теореми безпосередньо випливає з визначення інверсії.
Теорема 2. Інверсія ц перетворює пряму, не проходить через центр інверсії О, в окружність, що проходить через точку О.
Доказ: Нехай l - пряма, не проходить через центр інверсії - точку О. Опустимо з точки О перпендикуляр на пряму l, і нехай він перетинає l в точці М (рис. 4). Нехай Мґ образ точки М відносно інверсії ц. Точка Мґ, очевидно, лежить на промені ОМ. На прямий l розглянемо довільну точку X, відмінну від нескінченно віддаленої точки О в€ћ. Нехай Xґ - образ Х щодо інверсії ц. Тоді по лемі 1 маємо в€џ ОXґМґ = в€џ ОМХ =. Тому точка Xґ лежить на окружності К, побудованої на відрізку ОМґ як на діаметрі. Так як точка Х взята на прямій l довільно, то образ прямої l при інверсії ц являє собою сукупність точок l ', розташовану на окружності К.
Рис. 4
Доведемо тепер, що безліч точок l 'збігається з окружністю К. насамперед відзначимо, що точка О належить безлічі l '. Це випливає з того, що пряма l проходить через нескінченно віддалену точку О в€ћ, а цю точку інверсія ц переводить в точку О. Нехай тепер Y - довільна точка окружності К. Промінь ОY перетинає пряму l в деякій точці Z. Так як точки Y і Z лежать на одному промені ОZ, то нам потрібно лише перевірити, що виконується співвідношення ОY =. За побудови трикутники ОYМґ і ОМZ (Рис 4) подібні. Тому =. Звідси ОY ==. Отже, доведено, що точка Y є образ точки Z при інверсії ц.
Теорема доведена.
Побудова, проведене в доведенні теореми 2, дає спосіб побудови образу заданої прямий щодо інверсії ц з допомогою циркуля і лінійки. З центру інверсії - Точки О - опускаємо перпендикуляр ОМ (рис. 4) на пряму l. Будуємо точку Мґ, яка є образом точки М (при цьому доводиться будувати відрізок довжиною, рівної r2/ОМ). Образ прямий l відносно інверсії - окружність lґ - Будується на відрізку ОМґ як на діаметрі.
Теорема 3. Інверсія ц перетворює окружність, що проходить через центр інверсії О, в пряму, що не проходить через точку О.
Доказ цієї теореми випливає з доведення теореми 2.
Теорема 4. Інверсія ц перетворює окружність, не проходить через центр інверсії О, в деяку окружність, також не проходить через центр інверсії.
Доказ: нехай К - окружність, не проходить через центр інверсії О. Через точку О проведемо пряму g так, щ...
