Зміст
Введення
Глава I. Розвиток поняття інтеграла
1.1 Проблема моментів
Глава II. Інтеграл Стілтьєса
2.1 Визначення інтеграла Стілтьєса
2.2 Загальні умови існування інтегралу Стілтьєса
2.3 Класи випадків існування інтеграла Стілтьєса
2.4 Властивості інтеграла Стілтьєса
2.5 Інтегрування по частинах
2.6 Приведення інтеграла Стілтьєса до інтегралу Рімана
2.7 Обчислення інтегралів Стілтьєса
2.8 Приклади
2.10 Теорема про середню, оцінки
2.11 Граничний перехід під знаком інтеграла Стілтьєса
2.12. Приклади і доповнення
Глава III. Застосування інтеграла Стілтьєса
3.1 Застосування в теорії ймовірностей
3.2 Застосування в квантовій механіці
Висновок
Список літератури
Додаток
Введення
Поняття інтеграла Рімана, Найвідоміше з елементарного курсу аналізу, застосовано лише до таких функцій, які або безупинні або мають "не дуже багато" точок розриву. Для вимірних функцій, які можуть бути розривними усюди, де вони визначені (або ж взагалі можуть бути задані на абстрактному багато, бо для них поняття безперервності просто не має сенсу), рімановская конструкція інтеграла стає непридатною. Разом з тим для таких функцій є аналоги в теорії вимірювань: це інтеграли Лебега і Стілтьєса. Так як інтеграл Стілтьєса охоплює більш широкий клас функцій, ми зупинимося на розгляді цього інтеграла.
Вибір теми обумовлений тим, що вивчення інтеграла Стілтьєса приділяється менше уваги, ніж інтегралах Рімана і Лебега, хоча саме ідея стілтьесовского інтегрування багатшим і пліднішим попередніх, визначення інтеграла Стілтьєса ширше класичного і в деякому відношенні зручніше його.
Мета роботи - розглянути необхідність введення поняття інтеграла Стілтьєса, дати точне, компактне, порівняно повний виклад теорії інтеграла Стілтьєса.
Завдання, які потрібно виконати для досягнення мети:
вивчити безліч літератури по цій темі;
відібрати з вивченого матеріалу необхідний;
привести приклади використання інтеграла.
Робота складається з трьох розділів. Перша присвячена розвитку даного поняття, проблемі моментів, яка і призвела до необхідність введення нового поняття інтеграла.
У другій главі розглянуті основні поняття, визначення самого інтеграла, властивості, способи обчислення, розглянуто безліч прикладів.
Третя глава присвячена застосуванню інтеграла Стілтьєса в інших розділах математики та в інших науках.
Глава I. Розвиток поняття інтеграла
1.1 Проблема моментів
Введення поняття інтеграла Стілтьєса і подальша його розробка пов'язані з проблемою моментів, що складається в наступному. Нехай задана послідовність чисел; потрібно знайти таку функцію розподілу, щоб члени заданої послідовності були моментами, тобто . Якщо a і b кінцеві, то поставлена ​​задача називається проблемою моментів в кінцевому інтервалі; якщо, то отримуємо проблему моментів Стілтьєса.
Проблема моментів спочатку ставилася в менш загальній формі. А саме по заданій послідовності чисел шукається така функція, щоб мали місце рівності. Доцільність залучення інтеграла Стілтьєса для постановки і вирішення проблеми моментів напрошується досить природно. З таким станом речей і зіткнувся Стілтьєса при вивченні безперервних дробів, і саме в результаті цих досліджень він запропонував своє узагальнення інтеграла.
Ранні дослідження Стілтьєса викладені в його статті про механічні квадратурах, в якій з'ясовується, чи дозволяють формули квадратури отримувати необмежену наближення інтеграла в сенсі Рімана. У вступній частині статті Стілтьєса вирішує задачу про визначення многочлена
Умовами
(1)
при неотрицательной на.
Ми торкнемося двох моментів з змісту його статті.
Перший відноситься до задачі про ступеня наближення, що дається квадратурної формулою Гауса:
Тут Стілтьєса користується доведеними їм формулами П.Л. Чебишева у вигляді
де. (2)
Він показує, що якщо в квадратурної формулою Гауса в якості брати числа, одержувані за формулою (2) з ланцюгового дробу, відповідної інтегралу, а будуть корінням знаменників підходящих дробів, то формула Гауса дасть як завгодно точне наближення при зростанні. Для цієї ланцюгового дробу числа, очевидно, задовольняють нерівностям
(3)
так як в цьому випадку.
Другим моментом є Наступного. Зазначивши, що його результати корисні при вивченні питання про квадратурі інтеграла, Стілтьєса ставить питання про квадратурних формулах для інтеграла вигляду
. (4)
Він обмежується тим приватним випадком, коли - довільна інтегрована за Ріманом функція, а така, що всередині не існує інтервалу, в якому, і показує, що в цьому випадку апроксимація можлива зі як завгодно великий ступенем точності. Доказ цього факту спирається на те, що функція
(5)
є безперервною і строго монотонної, а тому існує зворотна функція, і в інтегралі (4) можлива заміна змінних
зводять інтеграл (4) до вже вивченому Стілтьєса нагоди.
З приводу ж загального випадку Стілтьєса вказав, що "умови, що накладаються на функції, робляться джерелом труднощів, яких вдасться уникнути лише за допомогою нових досліджень про самі принципи інтегрального числення ". Дійсно, якщо не задовольняє умові відсутності в інтервалу, в якому, то вона може виявитися не монотонною, тому звернення в тому вигляді, в якому таку заміну тоді виробляли, стає неможливим, і квадратуру інтеграла (4) вже не можна звести до квадратурі інтеграла.
Наведені слова Стілтьєса показують, що вже в 1884 р. він був в деякій мірі підготовлений до перегляду поняття інтеграла. До думки про такий перегляд його приводив прийом заміни змінних, який відігравав помітну роль у подальшій історії інтеграла Стілтьєса.
Стілтьєса розглядав безперервні дроби виду
(6)
де - в загальному випадку комплексне число.
Нехай - підходяща дріб порядку для безперервної дробу (6). Тоді існують межі
причому, якщо ряд розходиться, то
якщо ж ряд сходиться, то
і функції та різні.
До цього часу математикам, займався безперервними дробами, була відома зв'язок між інтегралом
(7)
і безперервної дробом
, (8)
де - суть лінійні функції, а числа зв'язані з коефіцієнтами розкладання (7) в ряд по убутним ступеням:
Формулами
Цією-то зв'язком і керувався Стілтьєса у своїх дослідженнях. Хід його думки був наступним. Для відповідних дробів дробу (6) справедливі наступні властивості: коріння і дійсні і різні, ступінь менше ступеня. Для-й підходящої дробу справедливо рівність
або, в іншій формі,
Зокрема,
Як вже говорилося при, а тому, якщо позначити через нулі, то й при. Аналогічно, якщо - нулі функції, то і для випадку непарних. У разі расходимости ряду очевидно, що.
Нехай дріб виду (6) задана розкладанням в ряд по убутним ступеням:
(9)
Тоді виявляється, що ряди
сходяться і
(10)
Ці формули дозволяють по ланцюговій дробу (6) знайти її розкладання в ряд (9). Зворотній ж завдання - по розкладанню (9) знайти дріб (6) - неминуче призводить до вирішення більш-менш загальної проблеми моментів.
У самому справі, Стілтьєса була відома чебишевско-марковська інтерпретація, як маси, зосередженої в точці, що є коренем. Природно було поширити цю інтерпретацію і на граничний випадок, розглядаючи як маси, розташовані в нулях функції (або). Після введення формул (10) Стілтьєса пише: "Розглянемо на нескінченній прямій роз...
