Курсова робота
Ірраціональні рівняння
Зміст:
Введення
1. Основні визначення та теореми
2. Стандартні ірраціональні рівняння і методи їх вирішення
2.1 Рівняння виду
2.2. Рівняння виду
2.3 Ірраціональні рівняння, які вирішуються введенням нової змінної
2.4 Рівняння виду,,
3. Нестандартні методи рішення ірраціональних рівнянь
3.1 Застосування основних властивостей функції
3.1.1 Використання області визначення рівняння
3.1.2 Використання області значень функції
3.1.3 Використання монотонності функції
3.1.4 Використання обмеженості функції
3.2 Застосування похідної
3.2.1 Використання монотонності функції
3.2.2 Використання найбільшого й найменшого значень функцій
4. Змішані ірраціональні рівняння і методи їх вирішення
4.1 Ірраціональні рівняння, містять подвійну ірраціональність
4.2 Ірраціональні показові рівняння
4.3 Ірраціональні логарифмічні рівняння
Висновок
Література
Введення
Тема моєї курсової роботи - В«Ірраціональні рівнянняВ». Я вибрала її тому, що в навчальному курсі, цьому матеріалу присвячено мало годин, а в задачниках велика кількість прикладів присвячена саме цій темі.
Тому у вивченні В«Ірраціональних рівняньВ» я переслідую мету - дати основні визначення ірраціональним рівнянням і теоремам. Визначити які бувають види рівнянь. Розглянути правила рішення ірраціональних рівнянь.
Завдання моєї роботи - вивчити наукову та методичну літературу, підібрати й розглянути задачі для даної теми, включаючи олімпіадні.
У моїй курсовій роботі показані рішення ірраціональних рівнянь як стандартного методу, так і не стандартного методу рішення. Я намагалася якомога доступніше охопити проблеми цієї теми. Звичайно, все можна врахувати в курсовій роботі, але я постараюся нижче викласти основні моменти. Я хотіла б зробити дану роботу допоміжним посібником при вивченні теми В«Ірраціональні рівнянняВ».
1. Основні визначення і теореми
Визначення 1. Рівняння - Це два вирази, з'єднані знаком рівності; в ці вирази входить одна або кілька змінних, називаних невідомими.
Приклад 1 . - є рівнянням з однієї невідомої.
Приклад 2. - є рівнянням з двома невідомими.
Визначення 2. Рівність виду називається рівнянням з однієї змінної.
Приклад 1. - є рівнянням з однієї змінної х.
Далі розглядаємо рівняння з однією змінною.
Визначення 3. Усяке значення змінної, при якому вираження і приймають рівні числові значення, називається коренем рівняння або його рішенням.
Приклад 1. Рівняння має два корені: -1 і 1.
Визначення 4. Вирішити рівняння - значить, знайти безліч всіх його рішень або довести, що їх немає.
Приклад 1. Рівняння має єдиний корінь 4, так як при цьому і тільки при цьому значенні змінної звертається у вірне рівність, таким чином, відповідь записується в наступному вигляді:
Про т в е т: {4}.
Приклад 2. Рівняння не має дійсних коренів.
Про т в е т:.
Приклад 3. Рівняння має нескінченну безліч рішень, так як після тотожних перетворень одержали рівність. Т.е дане рівняння є тотожне рівність, вірне для будь-якого дійсного значення.
Про т в е т:.
Визначення 5. Тотожність (Тотожне рівність) - це рівність двох виразів зі змінними, вірне при всіх допустимих значеннях вхідних у нього змінних. Тождествами вважаються і вірні числові рівності, а також рівності, що перетворюються в вірне числове рівність для всіх числових значень букв, для яких ці вирази визначені.
Приклад 1. Рівність, справедливо для всіх числових значень і в, є тотожним.
Приклад 2. Рівність 2 = 2 тотожність.
Визначення 6. Тотожне перетворення виразу - це заміна вираження на тотожно рівне йому вираз, тобто рівне для всіх числових значень вхідних у нього змінних.
До тотожним перетворенням відносяться, наприклад, зведення подібних доданків; розкладання на множники; приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника; розкладання їх на елементарні дроби та інші.
Визначення 7. Ірраціональним називають рівняння, в якому змінна міститься під знаком радикала або під знаком зведення в дробову ступінь.
Приклад 1. - ірраціональне рівняння (змінна втримується під знаком радикала).
Приклад 2. ірраціональне рівняння (змінна втримується під знаком зведення в дробову ступінь).
Визначення 8. Областю визначення рівняння (або областю допустимих значень змінної - ОДЗ) називають множину всіх тих значень змінної, при яких і вираз, і мають сенс.
Приклад 1. Вираз (І визначені при всіх. Значить, ОДЗ:.
Приклад 2. . Вираз не визначено при, а вираз не визначено при.
Значить, ОДЗ:.
Приклад 3. . Корінь парного ступеня має сенс лише при невід'ємних значеннях подкоренного висловлювання. Значить, одночасно повинні виконуватися умови: тобто ОДЗ:
Визначення 9. Нехай дано рівняння: (1), (2).
Якщо кожен корінь рівняння (1) є одночасно коренем рівняння (2), то рівняння (2) називається наслідком рівняння (1). Слідство позначається наступним чином:
Приклад 1.
У процесі вирішення рівняння часто доводиться застосовувати такі перетворення, які приводять до рівнянню, що є наслідком вихідного. Рівнянню-слідству задовольняють всі корені вихідного рівняння, але, крім них, рівняння-наслідок може мати і такі рішення, які не є коренями вихідного рівняння, так звані, В«СторонніВ» корені. Щоб виявити і відсіяти В«сторонніВ» корені, зазвичай надходять так: всі знайдені коріння рівняння-наслідку перевіряють підстановкою в вихідне рівняння.
Розглянемо приклади перетворень, які можуть призвести до розширення ОДЗ, тобто до появи В«СторонніхВ» коренів.
1. Заміна рівняння рівнянням
Якщо при деякому значенні, рівному, вірно рівність, то вірним є також рівність. Значить, рівняння є наслідком вихідного рівняння. При цьому може існувати таке значення, рівне, при якому і. Тоді число, що є коренем рівняння, не є коренем вихідного рівняння, тому при вихідне рівняння не має сенсу.
Приклад 1. Вирішити рівняння.
Рішення. . Тоді.
Перевірка.
При знаменник рівняння не звертається в нуль, а при - звертається. Отже, вихідне рівняння має єдиний корінь: -10.
Про т в е т:.
2. Зведення обох частин рівняння в квадрат.
Нехай дано два рівняння (1) і. Якщо - корінь першого рівняння, то вірно рівність. З рівності двох чисел випливає рівність їх квадратів, тобто , а це означає, що - корінь рівняння (2). Значить з рівняння (1) випливає рівняння (2).
У той же час з рівності квадратів чисел не слід рівність цих чисел (числа можуть бути протиставлення). Тому з рівняння (2) не слід рівняння (1). Звідси випливає, що якщо при рішенні рівняння використовувалося зведення обох частин рівняння в квадрат, то потрібно повести додаткове дослідження, що дозволяє виключити В«сторонніВ» корені, якщо вони з'явилися.
Приклад 1. Вирішити рівняння.
Рішення. Зведемо обидві частини цього рівняння у квадрат.
;. Тоді ,.
Перевірка.
Якщо, то, рівність не вірно, отже, -1 - не є коренем вихідного рівняння.
Якщо, то 4 = 4, рівність вірно.
Отже, рівняння має єдиний корінь: 4.
Про т в е т: {4}.
3. Виконання в одній частини (або в обох частинах) рівняння тотожних перетворень, що призводять до розширенню області визначення рівняння.
Якщо деякий тотожне перетворення привело до розширення області визначення рівняння, то одержуємо рівняння - н...
