Визначення і найпростіші властивості вимірної функції
Якщо кожному x з множини E поставлено у відповідність деяке число f (x), то ми будемо говорити, що на множині E задана функція f (x). При цьому ми допускаємо і нескінченні значення функції, лише б вони мали певний знак, тобто вводимо В«невласніВ» числа - І +. Ці числа зв'язані між собою і з будь-яким кінцевим числом a нерівностями
-
і ми встановлюємо для них наступні закони дій:
+ В± a = +, + + (+) = +, + - (-) = +,
- В± a = -, - + (-) = -, - (+) = -,
ВЅ + ВЅ = ВЅ - ВЅ = +, + Г— a = a Г— (+) = +,
- Г— a = a Г— (-) = -, якщо a> 0,
+ Г— a = a Г— (+) = -,
- Г— a = a Г— (-) = +, якщо a <0
0 Г— (В±) = (В±) Г— 0 = 0,
(+) Г— (+) = (-) Г— (-) = +,
(+) Г— (-) = (-) Г— (+) = -,
= 0.
Тут a позначає речовий кінцеве число. Символи
+ ВҐ - (+ ВҐ), - ВҐ - (- ВҐ), + ВҐ + (- ВҐ), - ВҐ + (+ ВҐ).
,
ми вважаємо позбавленими сенсу.
Маючи справу з функцією f (x), заданої на множині E, ми будемо символом
E (f> a)
позначати безліч тих x з безлічі Е, для яких виконано нерівність f (x)> а.
Аналогічним чином вводяться символи
Е (f Ві а), Е (f = а), Е (f ВЈ а), Е (а
і т.п. Якщо безліч, на якому задана функція f (x), позначено небудь інший буквою, наприклад А чи В, то ми відповідно будемо писати
А (f> а), В (f> а)
і т.п.
Визначення 1 . Функція f (x), задана на безліч Е, називається вимірної , якщо вимірно це безліч Е і якщо при будь-якому кінцевому а вимірно безліч
Е (f> а).
У зв'язку з тим, що тут мова йде про множинах, вимірних в сенсі Лебега, часто (бажаючи підкреслити саме ця обставина) говорять про вимірної (L) функції. Якщо ж Е і все безлічі Е (f> а) вимірні (В), то і f (x) називається вимірної (В) функцією.
Теорема 1. Всяка функція, задана на безлічі заходи нуль, вимірно.
Це твердження очевидно.
Теорема 2. Нехай f ( x ) є вимірна функція, задана на безлічі Е. Якщо А є вимірне підмножина Е, то f ( x ), розглянута тільки для x ГЋА, вимірно .
Дійсно, А (f> а) = А Г— Е (f> а).
Теорема 3. Нехай f ( x ) задана на вимірному безлічі Е, представимо у формі суми кінцевого числа або лічильного безлічі вимірних множин Е k :
E = Г—
Якщо f ( x ) вимірно на кожному з множин E R . , то вона вимірна і на Є.
У самому справі, E (f> a) =.
Визначення 2. Дві функції f (x) і g (x), задані на одному і тому ж безлічі Е, називаються еквівалентними , якщо
mE (f В№ g) = 0
Позначати еквівалентність функцій f (x) і g (x) прийнято так:
f (x) ~ g (x).
Визначення 3. Нехай деякий обставина S має місце для всіх точок якого-небудь безлічі Е, крім точок, що входять в підмножина Е 0 безлічі Е. Якщо mе 0 = 0, то говорять, що S має місце майже скрізь на безлічі Е, або майже для всіх точок Є.
Зокрема, безліч виняткових точок Е 0 може бути і порожнім.
Тепер можна сказати, що дві функції, задані на безлічі Е, еквіваленти, якщо вони рівно майже скрізь на Є.
Теорема 4. Якщо f (х) є вимірна функція, задана на безлічі Е, а g ( x ) ~ f ( x ), то g ( x ) також вимірно.
Д про до а із а т е л ь с т в о . Нехай А = Е (f В№ g), B = E - A. Тоді mA = 0, так що В вимірно. Значить функція f (x) вимірна на безлічі В. Але на безлічі У функції f (x) і g (x) можна відрізнити, так що g (x) вимірна на В. Оскільки g (x) вимірна і на А (бо mA = 0), вона вимірна на Е = А + В.
Теорема 5. Якщо для всіх точок вимірного безлічі Е буде f ( x ) = c , то функція f ( x ) вимірно.
Дійсно,
E ( f > a ) =
Зауважимо, що в цій теоремі з може бути і нескінченним.
Функція f (x), задана на сегменті [а, b], називається ступінчастою, якщо [а, b] розкласти точками.
з 0 = а <з 1 <з 2 <... <з n = b
на кінцеве число частин, в н у т р і яких (тобто в інтервалах (з k , c k + 1 ) при k = 0, 1, ...., n -1) функція f (x) постійна . Легко зрозуміти, що з теореми 5 випливає
Слідство . Ступенева функція вимірно.
Теорема 6. Якщо f ( x ) є вимірна функція, задана на безлічі Е, то при будь-якому а вимірні множини
E (f Ві a), E (f = a), E (f ВЈ a), E (f
Д про до а із а т е л ь с т в о. Легко перевірити, що
E (f Ві a) =
звідки слід вимірність множини E (f Ві a). Вимірність інших множин випливає зі співвідношень:
E (f = a) = E (f Ві a) - E (f> a), E (f ВЈ a) = E - E (f> a),
E (f
Зауваження. Легко показати, що якщо хоч одне з множин
E (f Ві a), E (f ВЈ a), E (f
виявляється вимірним при всякому а, то функція f ( x ) вимірно на безлічі Е (яке також передбачається вимірним).
Дійсно, тотожність) показує, наприклад, що f (x) вимірна, якщо вимірні всі множини Е (f Ві а). Подібним чином встановлюються та інші затвердження. Таким чином, у визначенні вимірної функції можна замінити безліч Е (f> a) будь-яким з множин (1).
Теорема 7. Якщо функція f ( x ), задана на безлічі Е, вимірно, а k кінцеве число, то вимірні і функції 1) f ( x ) + k , 2) kf ( x ), 3) Г§ f ( x ) Г§ , 4) f < i> 2 ( x ), і якщо f < i> ( x ) В№ 0, то вимірна і функція 5).
Д про до а із а т е л ь с т в о . 1) Вимірність функції f (x) + k випливає зі співвідношення Е (f + k> a) = E (f> a-k).
2) Вимірність функції kf (x) при k = 0 випливає з теореми 5. Для інших k вимірність слід з очевидних співвідношень
3) Функція Г§f (x) Г§ вимірно тому, що
4) Аналогічно, з того, що
E (f 2 > a) =
випливає вимірність функції f 2 (x).
5) Нарешті, при f (x) В№ 0 маємо
> a) =
звідки і випливає вимірність.
Теорема 8 . Функція f ( x ), задана і неперервна на сегменті Е = , вимірно.
Д про до а із а т е л ь с т в о. Перш за все встановимо, що безліч
F = E (f ВЈ a)
замкнуто. Дійсно, якщо x 0 є гранична точка цього множини і x n В® x 0 (x n ГЋF), то f (x n ) ВЈ a і, в силу безперервності f (x), б...
