Варіант 3.
1. Вирішіть рівняння
Рішення
За визначенням
.
Тоді і рівняння приймає вид або звідки отримуємо і
Так як m може бути тільки натуральним числом, то значення відкидаємо.
Відповідь: .
2. В урні знаходиться 12 білих і 8 чорних куль. Знайти ймовірність того, що два одночасно вилучених навмання кулі будуть чорними
Рішення
При виборі двох куль з 20 існує різних варіантів, де, тоді
Визначимо сприятливих исходов, тобто витягнуті два чорних кулі. Два чорних кулі з 8 можна вибрати способами отже, число сприятливих результатів
.
Шукана ймовірність, згідно з класичним визначенням ймовірності, дорівнює відношенню числа сприятливих фіналів до числа всіх результатів:
.
Відповідь: .
3. Знайдіть ймовірність того, що навмання взяте двозначне число виявиться кратним або 4, або 5, або того й іншого
Рішення
Скористаємося класичним визначенням ймовірності. Двозначні числа починаються з 10 і закінчуються 99 і всього їх 90, тобто N = 90. Тепер порахуємо, скільки у нас чисел кратних або 4, або 5, або того й іншому.
Число кратне 4-м має вид, кратне 5, кратне 4 і 5.
В інтервалі від 10 до 99 всього числа кратних чотирьом (2 кратних до десяти), чисел кратних п'яти (1 кратне до 10) і числа кратних і чотирьом і п'яти.
Так як безліч чисел кратних 4 і безліч чисел кратних 5 не перетинаються, то все виходить 22 + 18 = 40 чисел задовольняють необхідному нам умові, причому числа кратні і чотирьом і п'яти вже входять в ці 40 чисел. У підсумку отримуємо, що вірогідність того, що навмання взяте двозначне число виявиться кратним або 4, або 5, або тому і іншому дорівнює.
Відповідь: .
4. У партії 10 деталей, з яких 8 стандартні. З цієї коробки навмання витягується 2 деталі. Х - число стандартних деталей. Знайти закон розподілу, функцію розподілу дискретної випадкової величини Х, а також основні числові характеристики
Рішення
Серед 2-х витягнутих деталей може бути 0, 1 або 2 стандартні.
Знайдемо ймовірність кожного результату.
0 стандартних:
1 стандартна:
2 стандартних:
Закон розподілу приймає вид:
Х
0
1
2
р
Запишемо функцію розподілу отриманої випадкової величини Х:
Математичне сподівання М (Х) дискретної випадкової величини знаходиться за формулою:
, і підставляючи дані, отримаємо:
Дисперсію дискретної випадкової величини можна обчислити за формулою:
, і, підставляючи дані, отримаємо:
Середньоквадратичне відхилення:
s (Х) =
Відповідь: ;;.
5. По даній вибірці побудуйте полігон. Знайти емпіричну функцію.
Х i
2
5
7
8
N i
1
3
2
4
Рішення
Побудуємо полігон частот - ламану, що сполучає точки з координатами (Х i ; N i ).
Обсяг вибірки дорівнює N = 1 + 3 + 2 + 4 = 10.
Знайдемо відносні частоти і складемо емпіричну функцію розподілу:
Х i
2
5
7
8
w i
0,1
0,3
0,2
0,4 ​​
Відповідь: рішення вище.
