Міністерство науки і освіти
Кафедра "ІІВТ"
ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА
До курсової роботі
По предмету: Вища математика
На тему: Диференціальне числення
р. Талдикорган 2008
Введення
1. Предмет математики і основні періоди її розвитку. Математика являє собою один із самих важливих фундаментальних наук. Слово "математика" походить від грецького слова "матема", що означає знання. Виникла математика на перших же етапах людського розвитку в зв'язку з практичною діяльністю людей. З найдавніших часів люди, проводячи різні роботи, зустрічалися з необхідністю виділення і утворення тих чи інших сукупностей об'єктів, ділянок землі, житлових потреб об'єктів, житлових приміщень.
перше, у всіх цих випадках потрібно було встановлювати кількісні оцінки розглянутих множин, вимірювати їх площі і об'єми, порівнювати, обчислювати, перетворювати. За визначенням, яке Ф.Енгельсом:
МАТЕМАТИКА - це наука вивчає кількісні відносини і просторові форми реального світу.
2. Основні математичні поняття, такі як число, геометрична фігура, функція, похідна, інтеграл, випадкова подія і його ймовірність і т.д. За свою історію математика, яка розвивалась в тісному зв'язку з розвитком виробничої діяльністю людей і суспільної культури, перетворилася на струнку дедуктивну науку, представлену як потужний апарат для вивчення навколишнього нас світу.
Академік А.Н. Калинів виділив чотири основних розвитку в історії математики.
Перший - період зародження математики, початок якого лежить і втрачається в глибинах тисячоліть історії людства і триває до VI - V століть до нашої ери. У цьому періоді створюється арифметика, а також зачатки геометрії. Математичні відомості цього періоду складаються в основному з зводу правил вирішення різних практичних задач.
Другий період - елементарної математики, тобто математики, постійних величин (VI - V ст. до н.е. - XVII в. н.е.). Вже на початку цього періоду (близько 300 років до н.е.) Евклід створює теорію трьох книг ("Початок Евкліда" - перший з дійшли до нас великих теоретичних досліджень з математики), в яких, зокрема вивчається дедуктивним чином на базі система аксіоми вся елементарна геометрія. Виданої в IX столітті твори ал-Хорезмі "Кібат ал-Джарап ал-мукабала" містить загальні прийоми рішення задач, що зводять до управління першого та другого ступеня. У XV столітті замість гучних виразів стали вживати знаки + і -, знаки ступенів, коренів, дужки. У XVI столітті Ф.Віет застосовує літери для позначення даних і не відомих величин. До середини XVII століття в основному склалася сучасна алгебраїчна символіка, і цим були створені основи формального математичного мови.
Третій період - період створення математики змінних величин (XVII століття - середина XIX століття). Починаючи з XVII століття, у зв'язку з вивченням кількісного відносини в процесі їх зміни, на перший план виносили поняття змінної величини і функції. У цьому періоді в роботах Р. Декарта на базі світового дослідження методу системних координат створюється аналітична геометрія. У ра ботах И.Ньютона і Г.В.Лейбніца завершує створення диференціального інтегрального обчислення.
Четвертий період - сучасні математики. Його початок слід відносити до двадцятих років XIX століття - цей період починається з робіт Е.Гаусса, в яких закладені ідеї теорії алгебраїчних структур, В.І.Лобачевского, який відкрив першу неевклідову геометрію - геометрію Лобачевського.
У наслідку подальшого поширення отримав аксіоматичний метод, в нову фазу вступили роботи по обгрунтуванню математики, математичної логіки та математичного моделювання. Створення в середині минулого століття ЕОМ призвело не тільки більш глибокому і широкому застосуванню математики в інших галузях знання, в технічних науках, в питаннях організації та управління виробництвом, але і зародженню розвитку нових областей теоретичних і прикладних математичних функцій. Проникнення методів сучасної математики і ЕОМ в інші наук і практику застосовує на стільки загальний і глибокий характер, що одне з здібностей нинішнього етапу розвитку людської культури вважається процес математизації знань і комп'ютеризації всіх сфер трудової діяльності і життя людей.
3. Поняття про математичному моделюванні. При вивченні кількісних характеристик складних об'єктів, процесів явищ, користуються методом математичного моделювання, який полягає в тому, що розглянуті закономірності формуються на математичній мові і досліджуються за допомогою відповідних математичних засобів. Математичний модуль досліджуваного об'єкта записується за допомогою математичних символів і складається із сукупності рівнянь, нерівностей, формул, алгоритмів програм (для ЕОМ), до складу яких входять змінні і постійні величини, різні операції, функції, бути може, і їх похідні, та інші математичні поняття. Прийомами складання найпростіших математичних моделей служить добре відомий, з курсу математики середньої школи, прийом вирішення завдань за допомогою рівнянь і систем рівнянь - отримане рівняння або система рівнянь є математичною моделлю даної задачі. Це були приклади задач з єдиним рішенням - детермінованих задач. Однак часто зустрічаються завдання, що мають багато рішень. У таких випадках на практиці виникає питання про знаходження такого рішення, яке є найбільш підходящим для тієї чи іншої точки зору. Такі рішення називаються оптимальними рішеннями.
Оптимальне рішення визначається як рішення, для якого деяка функція називається цільовою функцією, приймає при заданих обмеженнях найбільше і найменше значення. Цільову функцію складають із умови задачі, і вона виражає величину, яку потрібно оптимізувати (тобто максимізувати або мінімізувати), - наприклад, одержуваний прибуток, витрати, ресурси і т.п.
Виявляється, що широкий клас, зокрема завдання управління, складають задачі в математичних моделях яких умови на змінних створюють нерівність або рівність. Теорія і методи вирішення таких завдань становить розділ математики, відомий під назвою "Математичне програмування".
Якщо обмеження і цільова функція є численним першого ступеня (лінійні), то такі завдання складають розділ математичного програмування.
Математичні моделі великих похідних систем, як правило, мають складну структуру. Зокрема, в них кількість змінних і нерівностей або рівнянь можуть налічувати кілька десятків і навіть сотень ступенів мають досить складний вид. Такі завдання вирішуються в обчислювальних центрах з використанням великих обчислювальних машин.
Слідуючи А.Н.Тихонова, в процесі вирішення реальних завдань методом математичного моделювання обчислюємо наступні п'ять етапів:
Побудова якісної моделі, тобто розглядання явищ, виділення основних факторів і встановлення закономірностей, які мають місце в наступному явищі. Побудова математичної моделі, тобто переклад на мову математичних станів, встановлених якісних закономірностей явищ. На цьому ж етапі стану цільова функція, тобто така числова характеристика змінних, найбільшому або найменшим значенням якої відповідає краща ситуація з точки зору попереднього рішення. Рішення одержуваної завдання. У зв'язку з тим, що часто математичні моделі є досить величезними, обчислення проводяться за допомогою ЕОМ в обчислювальних центрах. Зіставлення результатів обчислень є незадовільними, то переходять до другого циклу процесу моделювання, тобто повторюють етапи 1, 2, 3 з належними уточненнями інформації поки не буде досягнуто задовільний угоду з наявними даними про модульованому об'єкті.
Математичні методи необхідно застосовувати при вирішенні великих завдань, таких як: фінансові відносини, планування народного господарства, використання атомною енергією в широких цілях, створення...
