Міністерство освіти Російської Федерації
Муніципальний загальноосвітній заклад
"Середня загальноосвітня школа № 22"
Графіки і їх функції
Виконали:
Учні 9 "Б" класу
Кузнєцов Євген і Руді Олексій
Керівник:
Зеніна Алевтина Дмитрівна,
викладач математики
Тюмень, 2006
Зміст
Введення. 4
Глава I. Історія виникнення. 5
1.1 Виникнення і поняття функції в стародавньому світі. 5
1.2 Виникнення і поняття функції в стародавньому Єгипті. 5
1.3 Виникнення і поняття функції в Стародавньому Вавілоні. 6
1.4 Виникнення і поняття функції в Стародавній Греції. 6
1.5 Графічне зображення залежностей, історія виникнення. 7
1.6 Внесок у розвиток графіків функцій Рене Декартом .. 8
Глава II. Визначення функцій. 9
2.1 Основні поняття про функції. 9
2.2 Способи завдання функцій. 10
Глава III. Дослідження функцій та їх графіків. 12
3.1 Найпростіші функції та їх графіки. 12
3.2 Тригонометричні функції. 18
3.3 Криві другого порядку. 19
Глава IV. Методи побудови графіків функцій. 23
4.1 Паралельний перенос. 23
4.1.1 Перенесення уздовж осі ординат. 23
4.1.2 Перенесення уздовж осі абсцис. 24
4.
2 Відображення. 24
4.2.1 Побудова графіка функції виду y = f (-x) 24
4.2.2 Побудова графіка функції виду y = - f (x) 25
4.2.3 Побудова графіків парних і непарних функцій. 25
4.2.4 Побудова графіка зворотної функції. 26
4.3 Деформація. 26
4.3.1 Деформація графіка вздовж осі ординат. 26
4.3.2 Деформація графіка вздовж осі абсцис. 27
4.4 Алгебраїчні операції над графіками функцій. 27
4.4.1 Графік суми (різниці) функцій. 28
4.4.2 Графік твори функцій. 28
4.4.3 Графік функції виду. 28
4.4.4 Графік частки двох функцій. 29
4.5 Побудова графіків складних функцій. 29
4.5.1 Графік функції у = [f (x)] k. 29
4.5.2 Графік функції у = af (x) 30
Глава V: Графіки нетрадиційних функцій. 31
Висновок. 37
Список літератури .. 39
Додаток 1. 40
Додаток 2. 41
Додаток 3. 42
Додаток 4. 43
Додаток 5. 44
Додаток 6. 45
Додаток 7. 46
Додаток 8. 47
Додаток 9. 48
Додаток 10. 49
Додаток 11. 50
Додаток 12. 51
Додаток 13. 52
Додаток 15. 54
Введення
Вивчення поведінки функцій і побудова їх графіків є важливим розділом математики. Вільне володіння технікою побудови графіків часто допомагає вирішити багато завдань і парою є єдиним засобом їх вирішення. Крім того, вміння будувати графіки функцій представляє великий самостійний інтерес.
Цілі реферату - систематизація методів побудови графіків функцій виходять за рамки знань передбачених середньою школою. Так ж в цьому рефераті хотілося б відобразити методи та види вирішення різних графіків функцій. Основні положення по цим не традиційним графіком будуть викладені в главі VI. При цьому головна увага приділена саме методам побудови графіків, а не вивченню їх видів функцій.
Завдання:
систематизація старих знань
напрацювання нових способів побудови графіків функцій
вивчення нових графіків функцій
Об'єкт дослідження - алгебра.
Предмет дослідження - графіки та їх функції.
Матеріал, пов'язаний з побудовою графіків функцій, в середній школі вивчається недостатньо повно з точки зору вимог пред'явлених на іспитах. Тому завдання на побудову графіків не рідко викликають утруднення у вступників. Грунтуючись на цьому факті, ця тема є необхідної для докладного розгляду.
В основному для цього реферату використовувались математичні довідники та спеціальна література.
Глава I. Історія виникнення
1.1 Виникнення і поняття функції в стародавньому світі
Поняття функції сягає своїм корінням в ту далеку епоху, коли люди вперше зрозуміли, що оточуючі їх явища взаємопов'язані. Вони ще не вміли рахувати, але вже знали, що, чим більше оленів вдасться вбити на полюванні, тим довше плем'я буде врятоване від голоду, чим довше горить багаття, тим тепліше буде в печері.
З розвитком скотарства і землеробства, ремесла і обміну збільшилася кількість відомих людям залежностей між величинами. Багато з них виражалися за допомогою чисел. Це дозволило формулювати їх словами "більше на "," менше на "," більше в стільки-то разів ". Якщо за одного бика давали 6 овець, то двох биків обмінювали на 12 овець, а трьох биків на 18 овець. Такі розрахунки призвели до виникнення поняття про пропорційність величин.
1.2 Виникнення і поняття функції в стародавньому Єгипті
Але коли виникли перші цивілізації, утворилися великі (за тодішніми масштабами), армії, почалося будівництво гігантських пірамід, то знадобилися писарі, які враховували надходять податки, визначали кількість цегли, потрібне для зведення палаців, підраховували, скільки продовольства треба заготовити для далеких походів. Від одного покоління переписувачів до іншого переходили правила вирішення завдань, щоб вирішити такі завдання, треба було знати, як залежать обсяги геометричних фігур від їх розмірів, вміти враховувати нахил насипу. Деякі єгипетські завдання показують, що в той час вміли навіть обчислити об'єм піраміди
1.3 Виникнення і поняття функції в Стародавньому Вавилоні
Високого рівня досягла математика в Стародавньому Вавілоні. Щоб полегшити обчислення, вавілоняни склали таблиці зворотних значень чисел, таблиці квадратів та кубів чисел і навіть таблиці для суми квадратів чисел їх кубів. Говорячи сучасною мовою, це було табличне завдання функцій y = 1/x, y = x2, y = x3, y = x2 + x3
Користуючись такими таблицями, вавілоняни могли вирішувати і обернені задачі - по заданим обсягом куба знаходити довжину його сторони, тобто Витягувати кубічні корені. Вони вміли навіть вирішувати рівняння виду x2 + x3 = a. Були у вавілонян і таблиці функцій двох змінних, наприклад таблички додавання й множення. Користуючись різними таблицями, вони могли вирахувати і довжину гіпотенузи по довжинах катетів, тобто Знаходити значення функції
Зрозуміло, шлях від появи таблиць до створення загального поняття функціональної залежності був ще дуже довгий, але перші кроки по цьому шляху вже були зроблені.
1.4 Виникнення і поняття функції в Стародавній Греції
У Древній Греції наука прийняла інший характер, ніж у Єгипті і в Вавилоні. З'явилися професійні вчені, які вивчали саму математичну науку, займалися строгими логічними висновками одних тверджень з інших. Багато чого з того, що робили давньогрецькі математики, теж могло призвести до виникнення поняття про функції. Вони вирішували завдання на побудова і дивилися, при яких значеннях завдання має рішення, вивчали, скільки рішень може мати ця задача, і т.д. Стародавні греки знайшли багато різних кривих, невідомих переписувачам Єгипту і Вавилона, вивчали залежності між відрізками діаметрів і хорд у крузі, еліпсі та інших лініях. Але все ж давньогрецькі математики не створили загального поняття функції.
1.5 Графічне зображення залежностей, історія виникнення
Дослідження загальних залежностей почалося в 14 столітті. Середньовічна наука була схоластичної. Для доказу своєї правоти вчені вдалася не до досвіду, а до цитат з Арістотеля і Платона або до посилань на біблійні оповіді. При такому характері "наукових дискусій" не залишалося місця вивченню кількісних залежностей, мова йшла лише про якості предметів і їх зв'я...
