МІНІСТЕРСТВО освіти и науки України
Кріворізькій державний педагогічний университет
Кафедра математики
Курсова робота з математики
Власні значення І власні вектори матріці
Студента ІV курсу фізико-математичного факультету
Палія Валерія Миколайович
Науковий Керівник
ст. викладач Корольська Л. Р.
Кривий Ріг
2009 р.
ЗМІСТ
Вступ
Розділ І. Основні Відомості з лінійної алгебри
1.1 Віді Матриця. Дії над матрицями. Візначнік
1.2 Власні Значення та власні вектори матріці
Розділ ІІ. Знаходження Власний векторів и ВЛАСНА значень матриць
2.1 Метод А. М. Данілевського
2.2 Метод А. Н. Крилова
2.3 Метод Леверрьє
2.4 Метод невизначенності коефіцієнтів
2.5 Метод скалярних добутків для знаходження Першого власного Значення дійсної матріці
2.6 Приклади задач, Що зводяться до відшукання Власний значення та ВЛАСНА векторів матріці
Висновки
Список використаних джерел
Вступ
Історічно Першим розділом лінійної алгебри БУВ Розділ Теорії лінійніх рівнянь. Згідно біля зв'язку з розв'язання системи лінійніх рівнянь Було введено поняття "візначнік" в 1750 году Крамером. У зв'язку з вивченості лінійніх рівнянь та візначніків вводитися Поняття матріці в 1877 году Г. Фробеніусом. В кінці 19 Століття з'явився новий Розділ лінійної алгебри "Власні Значення та власні вектори матриці". Цей Розділ має прикладне значення.
Як з'ясувалося, деякі спеціалісті доніні цікавляться такою проблемою лінійної алгебри, Як обчислення Власний значення та Власний векторів матриць. Ця проблема вінікає в багатьох областях математики, механікі, інженерної справи та геології.
Актуальність нашого Дослідження полягає втом, Що Цілий ряд | інженерніх завдань зводіться до Розгляд систем рівнянь, Що мают єдиний розв'язок Ліше в тому випадка, коли | відоме Значення Деяк вхідного в них параметра. Цей особливий параметр назівається характеристичностью, або власним, значення системи. Із завданнями на власні Значення інженер стікається в різніх сітуаціях. Так, для тензорів напруг власні Значення візначає головна нормальна Напруга, а власними векторами задаються напрями, пов'язані з цімі значення. При дінамічному аналізі механічніх систем власні Значення відповідають власним частотам Коливань, а власні вектори характеризують моди ціх Коливань. При розрахунку конструкцій власні Значення дозволяють візначаті Критичні навантаженості, перевищення якіх приводити до Втрати стійкості. Вибір найбільш ефективного методу обчислення Власний значення або Власний векторів для даної інженерної Задачі поклади від ряду чінніків, таких, Як тип рівнянь, число шуканіх Власний значення І їх характер.
Об'єктом нашого Дослідження є Елементи лінійної алгебри.
Предмет Дослідження: методи знаходження Власний значення І ВЛАСНА векторів матриць.
Задачі Дослідження:
1) Аналіз навчальної та методичної літератури з тими Дослідження.
2) Обгрунтувати методи знаходження ВЛАСНА векторів и ВЛАСНА значення матриці.
3) Навести Приклади знаходження ВЛАСНА векторів и ВЛАСНА значення матриці.
Розділ І. Основні Відомості з лінійної алгебри
1.1 Види матриць. Дії над матрицями. Візначнік
матриці назівається прямокутна таблиця з чисел, Яки Складається з деякої кількості m рядків та деякої кількості n стовпців.
Числа m и n назіваються порядками матріці. У випадка, ЯКЩО m = n, матриця назівається квадратний, а число m = n - її порядком. [2, стор. 10]
Щоб запісаті матриці, віпісують належности чином позначені її елементів та отриманого Таблиця беруть в дужки або обмежують подвійнімі лініямі.
Таким чином, Загальний вигляд матріці розмірності (m, n) буде таким
, , ,
де a ij - позначені елементів з множини C. Часто Замість такого докладного запису вжівають скороченій: | | a ij | | або | | a ij | | M, n .
ЯКЩО Кількість рядків матріці дорівнює кількості її стовпців, то матриця назівається квадратний, а кількість її рядків, Що дорівнює кількості стовпців, назівається порядком квадратної матріці.
матриці, Що має Тільки один рядок, назівають просто рядком матріці, а кількість Його елементів - довжина рядка. В подалі матріці Будуть позначатіся великими літерами Латинська алфавіту.
Дві матріці назіваються рівнімі, ЯКЩО Кількість рядків и стовпців у них відповідно рівні та ЯКЩО рівні числа, Що стояти на відповідніх місцях ціх матриці. Таким чином, одна рівність Між (m, n)-матриця рівносільна сістемі mn рівностей Між їх елементами.
Основними Матричні операціямі є множення числа на матрицю або матріці на число, додавання та перемноження двох матриць. За окреслений, для того щоб помножіті число О± на матрицю А або матриці А на число О±, необхідно помножіті О± на ВСІ Елементи матріці А. Наприклад,
Матриця ВСІ Елементи якої дорівнюють нулю, назівається Нульовий матриці и позначається О. ЯКЩО бажають вказаті явно Кількість рядків и стовпців нульової матріці, то Пишуть про mn .
Блочні матріці. Пріпустімо, Що Деяка матриця за допомог горизонтальних и вертикальних прямих Розбита на окремі прямокутні клітіні, шкірні з якіх являє собою матрицю менших розмірів и назівається блоком віхідної матріці. У такому разі вінікає можлівість Розгляд віхідної матріці А Як деякої Нової (так званої блочної) матріці, елементами слугують вказані блоки.
Наприклад, Матриця
можна розглядаті Як блокові матриці, елементами якої слугують наступні блоки:
Цікавім є тією факт, Що Основні Операції з блокові матриці здійснюються за тимі ж правилами, за Яким смороду здійснюються Зі звичайна числова матриця, Тільки в ролі елементів віступають блоки. [2, стор. 15]
Для довільної матріці А та довільніх О±, ОІ мают Місце Такі співввідношення:
1.
2.
3.
сумою двох матриць А і В, Що мают відповідно рівну Кількість рядків и стовпців, назівається матриця, Що має ту ж Кількість рядків и стовпців и елементи, які дорівнюють сумам відповідніх елементів матриці А, В. Наприклад,
З цього визначення вітікають співвідношення:
4.
5.
6.
7.
8.
Вводячі позначені, будемо кож мати
[4]
Добутком матріці, Що має відповідно розмірність m х n, на матрицю, Що має відповідно розмірність n х p, назівається матриця, Що має відповідно розмірність m х p, та елементи, які визначаються за формулою
(1)
Для позначені добутку матріці А на матрицю В вікорістовують запис. Операція Складання добутку матріці А на матрицю В назівається перемноження ціх матриці.
Зі сформульованого Вище слідує, Що матриці А можна помножіті не на будь-яку Матриця В: необхідно, щоб кількість стовпців матріці А дорівнювало кількості рядків матріці В.
Зокрема, два добуткі можна візначіті Ліше в того випадка, коли кількість стовпців А співпадає з числом рядків В, а Кількість рядків А співпадає з кількістю стовпців В. При цьому обідві матріці Будуть квадратних, альо порядки їх Будуть різнімі. Для того щоб обидвоє добуткі НЕ Тільки булі визначеня, альо ї малі однаково порядок, необхідно и достатності, щоб обідві матріці А і В булі квадратна матриця одного й того ж порядку.
Формула (1) являє собою правило Складання елементів матріці С, Що являє собою добуток матріці А на матрицю В. Це правило можна сформулювати и словесно: елемент, Що Стоїть на перетіні і-го рядка та j-го стовпця матріці, дорівнює сумі попарних добутків відповідніх елементів і-го рядка матріці А та j-го стовпця матріці В.
В ЯКОСТІ приклада застосування вказаного правила пріведемо формулу перемноження Квадратна ма...
