Реферат Асимптоти (визначення, види, правила знаходження)

-->> x <а). Якщо існують такі числа k і l, що f (x) - kx - l = 0 при х В® + ВҐ (Відповідно при х В® - ВҐ), то пряма

y = kx + l

називається асимптотою графіка функції f (x) при x В® + ВҐ (відповідно при х В® - ВҐ).

Існування асимптоти графіка функції означає, що при х В® + ВҐ

(або х В® - ВҐ) функція веде себе В«майже як лінійна функціяВ», тобто відрізняється від лінійної функції на нескінченно малу.

x-3x - 2

Знайдемо, наприклад, асимптоту графіка функції y = x +1

Розділивши чисельник на знаменник по правилом ділення многочленів,

2 лютого

отримаємо y = x - 4 + x + 1 Так як x + 1 = 0 при х В® В± ВҐ, то пряма y = x-4

є асимптотою графіка даної функції як при х В® + ВҐ,

так і при х В® - ВҐ.

5

2.1 Геометричний сенс асимптоти

Розглянемо геометричний зміст асимптоти. Нехай М = (x, f (x)) - точка графіка функції f, М - проекція цієї точки на вісь Ох, АВ - асимптота,

q - кут між асимптотою і позитивним напрямом осі Ох, q В№,

MP - перпендикуляр, опущений з точки М на асимптоту АВ, Q - точка перетину прямої ММ з асимптотою АВ (рис.1).

(рис.1)

Тоді ММ = f (x), QM = kx + l, MQ = MM - QM = f (x) - (kx + l),

MP = MQ cos q. Таким чином, MP відрізняється від MQ лише на не рівний нулю множник cos q, тому умови MQ В® 0 і MP В® 0 при х В® + ВҐ (відповідно при х В® - ВҐ) еквівалентні, тобто lim MQ = 0,

то і lim MP = 0, і навпаки. х В® + ВҐ

х В® + ВҐ

Звідси випливає, що асимптота може бути визначена як пряма, відстань до якої від графіка функції, тобто відрізок МР, прагне до нуля, коли точка М = (x, f (x)) В«прагне, залишаючись на графіці, у нескінченність В»(при х В® + ВҐ або, відповідно, х В® - ВҐ).

6

2.2 Загальний метод відшукання асимптоти

Вкажемо тепер загальний метод відшукання асимптоти, тобто спосіб визначення коефіцієнтів k і l в рівнянні y = kx + l.

Будемо розглядати для визначеності лише випадок х В® + ВҐ (при х В® - ВҐ міркування проводяться аналогічно). Нехай графік функції f має асимптоту y = kx + l при х В® + ВҐ. Тоді, за визначенням,

f (x) = kx + l + 0

Розділимо обидві частини рівності f (x) = kx + l + 0 на х і перейдемо до границі при х В® + ВҐ. Тоді

lim = k.

х В® + ВҐ

Використовуючи знайдене значення k, отримаємо з f (x) = kx + l + 0 для визначення l формулу

l = lim (f (x) - kx).

х В® + ВҐ

Справедливо і зворотне твердження: якщо існують такі числа k і l, що виконується умова l = lim (f (x) - kx), то пряма y = kx + l є

х В® + ВҐ

асимптотою графіка функції f (x). У самому справі, з l = lim (f (x) - kx) маємо

х В® + ВҐ

lim [F (X) - (kx + l)] = 0,

х В® + ВҐ

тобто пряма y = kx + l дійсно задовольняє визначенню асимптоти, інакше кажучи, виконується умова f (x) = kx + l + 0. Таким чином, формули lim = k. і l = lim (f (x) - kx)

х В® + ВҐ х В® + ВҐ

зводять задачу відшукання асимптот y = kx + l до обчислення меж певного виду. Більш того, ми показали, що якщо існує

представлення функції f у вигляді f (x) = kx + L + 0, то k і l виражаються за формулами lim = k. і l = lim (f (x) - kx)

х В® + ВҐ х В® + ВҐ

Отже, якщо існує уявлення y = kx + l, то воно єдино.

Знайдемо за цим правилом асимптоту графіка функції f (x) =,

знайдену нами вище іншим способом:

7

тобто ми, як і слід було очікувати, отримали теж рівняння асимптоти

y = x - 4, як при х В® + ВҐ, так і при х В® - ВҐ.

У вигляді y = kx + L може бути записано рівняння будь-якої прямої, непараллельной осі Oy. Природно поширити визначення асимптоти і на прямі, паралельні осі Oy.

8

3. Види

3.1 Горизонтальна асимптота

Нехай $ lim f (x) = b. Тоді кажуть, що у функції f (X) є горизонтальна асимптота y = b. Графік функції найчастіше має такий вигляд (при x В® + ВҐ) (Рис.2)

(рис.2)

хоча в принципі, може мати і такий вигляд (рис.3)

(рис.3)

9

3.2 Вертикальна асимптота

(рис.4)

Нехай при x В® a В± 0 lim f (x) = В± ВҐ. Тоді кажуть, що пряма x = a є

х В® ВҐ

вертикальної асимптотою f (x). Графік функції f (x) при наближенні x до а веде приблизно ...