Федеральне агентство з освіти РОСІЙСЬКОЇ ФЕДЕРАЦІЇ
Саратовський державний університет
ІМ. Н.Г. ЧЕРНИШЕВСЬКОГО
Кафедра геометрії
Аналітичний метод
у вирішенні планіметричних задач.
Курсова робота
Науковий керівник
Зав. кафедрою
Саратов 2008
Зміст
Введення.
I. Суть аналітичного методу
1.1. Біля витоків аналітичної геометрії
1.2. Основні поняття аналітичної геометрії.
1.3. Метод координат на площині
1.4. Аффинная система координат на площині.
1.5. Декартова система координат на площині.
Пряма і окружність.
1.6. Аналітичне завдання геометричних фігур.
Аналітичне умова і геометричні фігури.
1.7. Алгебраїчні лінії другого порядку
II. Застосування аналітичного методу
до вирішення планіметричних задач.
Висновок
Список використовуваних джерел
введення
Велику роль у розвитку геометрії зіграло застосування алгебри до вивчення властивостей геометричних фігур, разросшееся в самостійну науку - аналітичну геометрію. Виникнення аналітичної геометрії пов'язане з відкриттям методу координат, що є основним їй методом.
Основними геометричними фігурами, досліджуваними аналітичної геометрією, є точки, прямі, площини, лінії і поверхні другого порядку. Саме маючи на увазі аналітичну геометрію і її метод, чудовий французький математик Софії Жермен (1776-1831) якось сказав: В«Алгебра - не що інше як записана в символах геометрія, а геометрія - це просто алгебра, втілена у постатях В».
В своїй роботі я розглянула планіметричних завдання, розраховані на застосування аналітичних методів рішення. Розглянуті задачі повинні показати єдність геометрії, алгебри і математичного аналізу. Тенденція використанню при розв'язуванні геометричних задач тільки геометричних методів перешкоджає додаткам алгебри і аналізу в самій математиці.
Метою даної курсової роботи є вивчення застосування аналітичного методу до рішенням планіметричних задач.
Курсова робота складається з вступу, двох розділів, висновку та списку використаних джерел.
Під введенні описана актуальність теми, сформульована мета, дана структура курсової роботи.
В першому розділі дані основні поняття аналітичної геометрії. Намічений курс подальшого дослідження.
Під другому розділі описується застосування аналітичного методу в рішенні планіметричних задач.
В висновку сформульовані основні висновки до роботи.
III. СУТЬ АНАЛІТИЧНОГО МЕТОДУ.
1.1. Біля витоків аналітичної геометрії.
Ідейні коріння аналітичної геометрії лежать в родючому грунті класичної давньогрецької математики. Другий за своєю епохальної після геніальних евклідових В«ПочавВ» фундаментальний трактат Аполону з пергою (бл. 260 - 170 рр.. до н.е.) В«Конічні перетиниВ» складався з 8 книг, з яких до нас дійшли 7, містив докладні описи властивостей еліпса, гіперболи і параболи, включаючи фокуси, дотичні, пов'язані діаметри, початки теорії поляр. Від сучасної аналітичної геометрії конічних перетинів його відділяло відсутність зручної системи позначень, яку принесла в математику значно пізніше алгебри, що прийшла з арабського Сходу. Очевидне і вичерпний виклад методу координат та основ аналітичної геометрії з введенням системи позначень, якою ми користуємося дотепер, було зроблено великим французьким математиком Рене Декартом в його книзі В«ГеометріяВ» (1637). Основна ідея цього методу - використання алгебри в геометрії - висловлювалася також іншим чудовим французьким математиком, сучасником Декарта, П'єром Ферма (1601 - 1665). Саме Ферма вперше встановив, що рівняння 1-го ступеня задають прямі, а другий канонічні перетину. Відкриття метод координат дало потужний поштовх до розвитку всієї математики, і, перш за все, - математичного аналізу. В результаті XVII століття стало епохою такого розквіту математичних наук, якого вона не відчувала з часів Стародавньої Греції. Зауважимо, до речі, що поняття координат не є вигадкою математиків: воно запозичене з практики, і в примітивній формі способом координат користуються навіть незнайомі з математикою люди. Нагадаємо, наприклад, уривок з поеми Некрасова: В«Кому на Русі жити добреВ»:
Ідіть по лісі,
Проти стовпа тридцятих
прямісінько версту:
Прийдете на поляночку,
Коштують на тій поляночке
Дві старі сосни,
Під цими під соснами
закопати коробочка.
Добудьте ви її ...
рис. 1
Тут 30 і 1 - координати поляночке (в тому сенсі, в якому розуміється завдання координат предмета); за одиницю довжини прийнята верста (рис. 1).
1.2. Основні поняття аналітичної геометрії.
Аналітична геометрія не має строго визначеного змісту і визначальним для неї є не предмет дослідження, а метод. Тобто аналітична геометрія має своїм завданням вивчення властивостей геометричних об'єктів за допомогою аналітичного методу.
В основі цього методу лежить так званий метод координат, вперше систематично застосований Декартом.
Основні поняття геометрії (точки, прямі лінії і площини) відносяться до числа так званих початкових понять. Ці поняття можна описати, але всяка спроба дати визначення кожного з цих понять неминуче зведеться до заміни обумовленого поняття йому еквівалентним. З наукової точки зору логічно бездоганним методом введення зазначених понять є аксіоматичний метод, у розвитку і завершенні якого найбільша заслуга належить Гільберт.
Аксіоматичний метод закладає фундамент і для лежачого в основі аналітичної геометрії методу координат. Заради простоти розглянемо питання про введення координат на прямий. Можливість введення координат на прямій грунтується на можливості встановлення взаємно однозначної відповідності між множиною всіх точок прямий і безліччю всіх дійсних чисел.
Доказ можливості встановлення такої відповідності базується на аксіомах геометрії та на аксіомах (властивостях) безлічі дійсних чисел.
Метод координат являє собою глибокий і потужний апарат, що дозволяє залучати для дослідження геометричних об'єктів. Завдяки універсальності підходу до вирішення різних завдань, метод аналітичної геометрії став основним методом геометричних досліджень і широко застосовується в інших областях точного природознавства - механіці, фізиці.
Аналітична геометрія об'єднала геометрію з алгеброю і аналізом, що плідно позначилося на розвитку цих трьох розділів математики.
1.3.Метод координат на площині
Метод координат лежить в основі аналітичної геометрії. Суть системи координат полягає в тому, що тим чи іншим способом встановлюється відповідність між точками площини (геометричними об'єктами) і впорядкованими парами дійсних чисел (алгебраїчними об'єктами). Внаслідок цього геометричні фігури, що представляють собою безлічі точок площини, виявляються складаються з таких точок, координати яких задовольняють деяким алгебраїчним співвідношенням (рівнянь, нерівностей або їх системам). В результаті вивчення властивостей геометричних фігур замінюється вивченням властивостей алгебраїчних співвідношень, що описують ці фігури. Для їх вивчення, у свою чергу, застосовуються методи алгебри і математичного аналізу.
Способів введення на площині систем координат існує безліч. У своїй роботі я розгляну аффинную (і її окремий випадок - декартову) систему координат на площині.
1.4. Аффинная система координат на площині.
Визначення. афінних система координат (або аффінним репером ) на площині називається впорядкована трійка точок цієї площини не лежать на одній прямий: R = {О, Е 1 , Е 2 }.
Розглянемо ...
