МІНІСТЕРСТВО АГЕНСТВО ДО ОСВІТИ РФ Саратовський державний університет
ІМЕНІ Н.Г. ЧЕРНИШЕВСЬКОГО
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ І
МЕТОДИКИ ЇЇ викладання
аксіоматичних МЕТОД
КУРСОВА РОБОТА
науковий керівник
р. Саратов 2008
ЗМІСТ
Введення.
I. Основні поняття аксіоматичної теорії.
1.1.Основние етапи розвитку аксіоматичного методу в науці
1.2.Понятіе аксіоматичної теорії
1.3.Как виникають аксіоматичні теорії.
II.Прімери аксіоматичних теорій.
Висновок.
Список використовуваних джерел.
ВСТУП
Аксіоматичний метод - фундаментальнейший метод організації і множення наукового знання в самих різних його областях - сформувався протягом більш ніж двотисячолітньої історії розвитку науки. Особливу роль аксіоматичний метод відіграє в математичній науці. Можна сказати, що математична наука досягає досконалості лише тоді, коли їй вдається користуватися аксіоматичним методом, тобто, коли наука приймає характер аксіоматичної теорії. Більш того, розвиток науки в двадцятому столітті показало, що математика виділяється в системі наук саме тим, що вона, по суті, єдина, що використовує аксіоматичний метод надзвичайно широко, і що цей метод в значній мірі обумовлює вражаючу ефективність математики в процесі пізнання навколишнього світу і перетворюючого впливу на нього.
Метою даної курсової роботи є вивчення застосування аксіоматичного методу до вирішення математичних завдань.
Курсова робота складається з вступу, трьох глав, висновку і списку використаних джерел.
У вступі описана актуальність теми, сформульована мета, дана структура курсової роботи.
У першому розділі дані основні етапи розвитку аксіоматичного методу і основні поняття аксіоматичної теорії. Намічений курс подальшого дослідження.
У другому розділі описується побудова евклідової геометрії на основі системи аксіом Вейля.
У висновку сформульовані основні висновки до роботі.
I. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ аксіоматичної теорії
1.1 Основні етапи розвитку аксіоматичного методу в науці.
Формування сучасного розуміння істоти аксіоматичного методу відбувалося протягом більш ніж двотисячолітньої історії розвитку науки.
Істинне початок науки про геометричні фігури та тілах, звичайно ж, губиться в глибині тисячоліть. Початкове оформлення перших геометричних уявлень зазвичай пов'язують з найдавнішими культурами Вавилона і Єгипту (3-2 тисячоліття до н.е.). З VII століття до н.е. починається піріод розвитку геометрії працями грецьких вчених. Піфагорійська школа в VI-V століттях до н.е. продовжила геометричні дослідження. Її основоположник Піфагор (560-470 або 580-500 рр. до н.е.) в молодості близько двадцяти років навчався мудрості в Єгипті, ще десять - у Вавилоні. Безсумнівно, що в школі Піфагора геометрія зробила перші кроки від узкопрактическим утилітарних завдань, від геометрії вимірювання ділянок землі до узагальнень, абстракцій і міркуванням.
Найвеличніший філософ античності Платон (428-348 р.р. до н.е.) творець Академії, мабуть, першим чітко поставив завдання побудови всього наукового знання взагалі і геометрії зокрема дедуктивним чином. Трактати і підручники з геометрії з'явилися ще до Платона - відомі керівництва Гіппократа Хиосськом, Демокріта, Февда. але лише Платон зажадав, щоб у главу всякої галузі знання були поставлені поняття і положення, з яких всі інші, що до цієї галузі належать повинно витікати кА їх слідства. Але ця постановка у Платона все ж дуже розпливчаста і контури її лише вгадуються з усього його вчення, побудованого на напівмістичне базі.
Геніальний учень Платона великий Аристотель (384-322 рр. до н.е.), переступив через містичні догми Платона, виявив його раціональні вимоги наукового обгрунтування всякого знання якої наукової діяльності. Він охопив майже всі досягнуті для його часу галузі знання, став основоположником наукового методу і багатьох наук. Наука, за Арістотелем, являє собою послідовність пропозицій, що відносяться до деякої області. Серед цих пропозицій є основні, які настільки очевидні, що не вимагають доказів. Це - аксіоми. Решта пропозицій повинні бути виведені з них. Це - теореми. Ця наукова доктрина Аристотеля була прийнята як керівництво до дії, насамперед, математики. І коли приблизно півстоліття потому з'явився геніальний праця Евкліда В«ПочаткиВ», то в його структурі явно проглядалася друк схеми Арістотеля.
Більше 2000 років В«НачалаВ» служили єдиним керівництвом, по якому вчилися геометрії юнаки і дорослі в країнах заходу і сходу. Це була перша в історії людства воістину наукова книга: в ній геометрія була представлена ​​як аксіоматична теорія, виходячи з тих принципів, формулювання яких сходили до Аристотеля і Платона.
Найбільший інтерес дослідників евклідової системи обгрунтування геометрії впродовж багатьох століть викликав V постулат. І щоб всякий раз, коли пряма при перетині з двома іншими прямими утворює з ними внутрішні односторонні кути, сума яких менше двох прямих, ці прямі перетиналися з тією стороною з якою ця сума менше двох прямих. Просторовість його формулювання штовхала дослідників на те, щоб довести його, вивести з інших постулатів і аксіом і тим самим виключити його з числа постулатів.
Такі дослідження велися в елленіческую епоху (Посідоній, I в до н.е., Санкері, XVIII в., Ламберт, XVIII в.). Це була епоха Евкліда в історії обгрунтування геометрії, епоха його продовжувачів і усовершенствователей, період наївно-аксіоматичної побудови геометрії. В початку XIX століття разом з безуспішними спробами докази V постулату вона добігає кінця. Вона народжувала з себе видатне відкриття - нове розуміння підстав геометрії і новий крок у розумінні суті аксіоматичного методу.
11 лютого 1826 в засіданні Фізико-математичного факультету Казанського університету професор Н.І. Лобачевський (1792-1856 р.р.) повідомив про відкриття: V постулат Евкліда лежить в основі теорії паралельних прямих. Значення відкриття Лобачевського невимірний велике для геометрії. По-перше, він В«закривВ» проблему V постулату, що стояла перед геометрами 2000 років, довівши, що V постулат логічно не залежить від інших аксіом геометрії, тобто не є їх необхідним наслідком. По-друге, V постулат тому саме не випливає з інших постулатів, що поряд з геометрією Евкліда, в якій цей постулат вірний, можлива інша В«УявнаВ», геометрія, в якій V постулат не виконується. По-третє, відкриття Лобачевського дало новий погляд на суть аксіоматичного методу, який отримав свій подальший розвиток. Аксіоми - це зовсім не самоочевидні істини. Це - твердження про якісь первинних поняттях, що приймаються без доказів і кладущего в основі теорії, з яких всі подальші затвердження теорії логічно виводяться. Істинно те, що може бути логічно доведено (виведено) з прийнятих аксіом. І, по-четверте, відкриття нової, як її зазвичай називають, неевклідової геометрії поклало кінець існувало до Лобачевського точці зору, згідно з якою евклідова геометрія представлялася єдино мислимим вченням про просторі.
До кінця 60-х років XIX століття, коли ідеї Лобачевського були з'ясовані і визнані основною масою математиків і ті приступили до їх подальшому розвитку, з новою силою постала проблема аксіоматичної побудови геометрії. До кінця XIX і на початку XX століття було опубліковано багато робіт на цю тему. Найбільшу популярність одержало твір німецького математика Д. Гільберта В«Підстави геометріїВ», що вийшли в 1899 році. У цій книзі Гільберт привів повну систему аксіом евклідової геометрії, тобто такий набір основних пропозицій, з яких всі інші твердження геометрії можуть бути доведені логічним шляхом, довів суперечливість цієї системи і незалежність деяких аксіом від інших аксіом системи. З виходом у світ цієї книги питання про логічному обгрунтуванні геомет...
