МОУ "ЗОШ № 16"
Доповідь на тему:
"Аксіоми планіметрії"
Виконала:
Учениця 7 класу
Аулова Євгенія
Астрахань 2010
З історії аксіом
Аксіоматичний метод з'явився в Древній Греції, а зараз застосовується у всіх теоретичних науках, насамперед у математиці. Аксіоматичний метод побудови наукової теорії полягає в наступному: виділяються основні поняття, формулюються аксіоми теорії, а всі інші твердження виводяться логічним шляхом, спираючись на них. Основні поняття виділяються в такий спосіб. Відомо, що одне поняття повинне роз'яснятися за допомогою інших, які, в свою чергу, теж визначаються за допомогою якихось відомих понять. Таким чином, ми приходимо до елементарних понять, які можна визначити через інші. Ці поняття і називаються основними. Коли ми доводимо твердження, теорему, то спираємося на передумови, що вважаються вже доведеними. Але ці передумови теж доводилися, їх потрібно було обгрунтувати. Зрештою, ми приходимо до недоказовості тверджень і приймаємо їх без доказу. Ці твердження називаються аксіомами. Набір аксіом повинний бути таким, щоб, спираючись на нього, можна було довести подальші твердження. Виділивши основні поняття і сформулювавши аксіоми, далі ми виводимо теореми й інші поняття логічним шляхом. У цьому і полягає логічна будова геометрії. Аксіоми й основні поняття складають підстави планіметрії. Так як можна дати єдине визначення основних понять для всіх геометрій, то основні поняття геометрії слід визначити як об'єкти будь-якої природи, що задовольняють аксіомам цієї геометрії. Таким чином, при аксіоматичній побудові геометричної системи ми виходимо з деякої системи аксіом, чи аксіоматики. У цих аксіомах описуються властивості основних понять геометричної системи, і ми можемо представити основні поняття у виді об'єктів будь-якої природи, які мають властивості, зазначеними в аксіомах. Після формулювання і доказу перших геометричних тверджень стає можливим доводити одні твердження (Теореми) за допомогою інших. Докази багатьох теорем приписуються Піфагору і Демокріту. Гіппократа Хиосськом приписується складання першого систематичного курсу геометрії, заснованого на визначеннях і аксіомах. Цей курс і його наступні обробки називалися "Елементи". Потім, у III в. до н.е., в Олександрії з'явилася книга Евкліда з тією ж назвою, в російській перекладі "Початки". Від латинської назви "Почав" відбувся термін "елементарна геометрія". Незважаючи на те, що твори попередників Евкліда до нас не дійшли, ми можемо скласти деяку думку про ці твори по "Початках" Евкліда. У "Початках" є розділи, логічно дуже мало зв'язані з іншими розділами. Поява їх пояснюється тільки тим, що вони внесені за традицією і копіюють "Початки" попередників Евкліда. "Початки" Евкліда складаються з 13 книг. 1 - 6 книги присвячені планіметрії, 7 - 10 книги - про арифметику і несумірні величини, які можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки. Книги з 11 по 13 присвячені стереометрії. "Початки" починаються з викладу 23 визначень і 10 аксіом. Перші п'ять аксіом - "загальні поняття", інші називаються "Постулатами". Перші два постулати визначають дії за допомогою ідеальної лінійки, третій - за допомогою ідеального циркуля. Четвертий, "усі прямі кути рівні між собою ", є зайвим, так як його можна вивести з інших аксіом. Останній, п'ятий постулат говорив: "Якщо пряма падає на дві прямі й утворить внутрішні однобічні кути в сумі менше двох прямих, то, при необмеженому продовженні цих двох прямих, вони перетнуться з тієї сторони, де кути менше двох прямих ". П'ять "загальних понять "Евкліда є принципами виміру довжин, кутів, площ, обсягів: "рівні тому самому рівні між собою", "якщо до рівного додати рівні, суми рівні між собою "," якщо від рівних відняти рівні, залишки рівні між собою "," суміщають один із одним рівні між собою "," ціле більше частини ". Далі почалася критика геометрії Евкліда. Критикували Евкліда по трьох причинах: за те, що він розглядав тільки такі геометричні величини, які можна побудувати з допомогою циркуля і лінійки; за те, що він розривав геометрію й арифметику і доводив для цілих чисел те, що вже довів для геометричних величин, і, нарешті, за аксіоми Евкліда. Найбільш сильно критикували п'ятий постулат, самий складний постулат Евкліда. Багато хто вважав його зайвим, і що його можна і потрібно вивести з інших аксіом. Інші вважали, що його слід замінити більш простим і наочним, рівносильним йому: "Через точку поза прямою можна провести в їх площині не більше однієї прямої, що не перетинає дану пряму ".
Критика розриву між геометрією й арифметикою привела до розширення поняття числа до дійсного числа. Спори про п'ятий постулат привели до того, що на початку XIX століття Н.І. Лобачевський, Я. Бойя і К.Ф. Гаусс побудували нову геометрію, в якою виконувалися всі аксіоми геометрії Евкліда, за винятком п'ятого постулату. Він був замінений протилежним твердженням: "У площині через точку поза прямою можна провести більше однієї прямої, що не перетинає дану ". Ця геометрія була настільки ж несуперечливою, як і геометрія Евкліда. Модель планіметрії Лобачевского на евклідовій площині була побудована французьким математиком Анрі Пуанкаре в 1882 р. На евклідовій площині проведемо горизонтальну пряму. Ця пряма називається абсолютом (x). Точки евклідової площині, що лежать вище абсолюту, є точками площини Лобачевського. Площиною Лобачевського називається відкрита полуплоскость, що лежить вище абсолюту. Неевклідові відрізки в моделі Пуанкаре - це дуги окружностей з центром на абсолюті або відрізки прямих, перпендикулярних абсолюту (AB, CD). Фігура на площині Лобачевского - фігура відкритої напівплощини, що лежить вище абсолюту (F). Неевклідової рух є композицією кінцевого числа інверсій з центром на абсолюті й осьових симетрій, осі яких перпендикулярні абсолюту. Два неевклідових відрізки рівні, якщо один з них неевклідовим рухом можна перевести в інший. Такі основні поняття аксіоматики планіметрії Лобачевского. Всі аксіоми планіметрії Лобачевского несуперечливі. Визначення прямої наступне: "Неевклидова пряма - це півколо з кінцями на чи абсолюті промінь з початком на абсолюті і перпендикулярний абсолюту ". Таким чином, твердження аксіоми паралельності Лобачевського виконується не тільки для деякої прямої і точки A, що не лежить на цій прямий, але і для будь-якої прямої і будь-який не лежачої на ній крапки A. За геометрією Лобачевського виникли й інші несуперечливі геометрії: від евклідової відокремилася проективна геометрія, склалася багатомірна евклідова геометрія, виникла риманова геометрія (загальна теорія просторів з довільним законом виміру довжин) і ін З науки про фігури в одному тривимірному евклідовому просторі геометрія за 40 - 50 років перетворилася в сукупність різноманітних теорій, лише в чомусь подібних зі своєю прародителькою - геометрією Евкліда.
Аксіоми планіметрії
Аксіоми приналежності
- Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.
- Через будь-які дві точки можна провести пряму, і тільки одну.
Аксіоми розташування
- Із трьох точок на прямій одна й тільки одна лежить між двома іншими.
- Пряма розбиває площину на дві півплощини.
Аксіоми вимірювання
- Кожен відрізок має певну довжину, більшу від нуля. Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які він розбивається кожен її точкою.
- Кожен кут має певну градусну міру, більшу від нуля. Розгорнутий кут дорівнює 180 градусів. Градусна міра кута дорівнює сумі градусних мір кутів, на які він розбивається будь-яким променем, що проходить між його сторонами.
Аксіоми відкладання
- На будь полупрямой від її початкової точки можна відкласти відрізок, заданої довжини, і тільки один.
- Від будь полупрямой в задану полуплоско...
