Зміст
Введення
В§ 1.Система аксіом алгебри октав, її несуперечність і категоричність
1.1 Несуперечність системи аксіом алгебри октав
1.2 Категоричність системи аксіом алгебри октав
В§ 2. Додаткові відомості про октавах
2.1 Дії над октавами
2.2 Парні октави і їх властивості
2.3.Некоторие тотожності для октав
В§ 3. Теорема Гурвіца
3.1 Нормовані лінійні алгебри
3.2 Теорема Гурвіца
В§ 4. Узагальнена теорема Фробеніуса
Список літератури
Введення
Одному відомому англійському філософ-матеріаліст Д. Гартлі належало вислів-"Оскільки слова можуть бути порівняні з буквами, уживаними у алгебрі, сама мова можна назвати одним з видів алгебри, і навпаки, алгебра є не що інше, як мова, яка особливим чином пристосований до пояснення величин усіх родів ... І ось, якщо все що відноситься до мові має щось аналогічне в алгебрі, то можна сподіватися пояснити труднощі, що виникають в теорії мови, при посередництві відповідних конкретних положень алгебри, в якій все ясно і визнано всіма, хто зробив її предметом свого вивчення ".
Предметом мого вивчення є один з розділів не асоціативної алгебри - алгебра октав.
Мета даної дослідницької роботи-виявити сутність алгебри октав, а так само виявити, яким чином виробляються дії над впорядкованої вісімкою чисел, тобто над (1, i, j, k, E, I, J, K). Не асоціативні алгебри в Нині покриті міфами екзотики. Насправді нічого особливого, крім втрати асоціативності, в них немає. Втім, ця втрата істотна. Якщо можна висловитися образно, то в космосі алгебр за асоціативними вже нічого "живого" немає. Серед не асоціативних алгебр найбільш відомою є найпростіша з них - алгебра октав. Або, інакше, четверта алгебра Фробеніуса, вона ж алгебра Келі-Діксона.
Розглянемо алгебраїчне визначення октави.
октави - називається число Гіперкомплексні алгебри, отриманої некомутативних подвоєнням по Келі алгебри кватерніонів:
Тут позначені:
O - октава,
Q - кватерніони,
E - уявна одиниця. .
Октави під багатьох випадках доречно розглядати як істотне розширення кватерніонів. Так само як і кватерніони, октави не мають дільників нуля, і квадрат модуля так ж виражається простою квадратичною формою. Для них, так само як і для кватерніонів, можна визначити умовне скалярний добуток. Яке і використовувалося Фробеніуса.
Об'єктом даної дипломної роботи є Гіперкомплексні числа.
Для октав, як і для інших Гіперкомплексні чисел, визначені операції додавання, віднімання, множення і ділення. Операції додавання і віднімання визначені покомпонентно. Множення октав визначено таблицею твори їх уявних одиниць. Для виконання ділення проводиться заміна операції ділення на операцію множення.
При використанні Гіперкомплексні чисел і їх дослідженні часто зустрічається операція сполучення.
Для октав визначені дві операції сполучення - алгебраїчне і векторне. Два інших сполучення - дуальне і скалярний не застосовні в силу відсутності в будові октав скалярною і дуальної уявних одиниць. При цьому векторне та алгебраїчне сполучення збігаються. Октава, сполучена заданої, утворюється зміною знаків у компонент при всіх уявних одиницях. Або, якщо, позначити октаву покомпонентно як
,
то сполучена їй октава буде мати вигляд:
.
В§ 1. Система аксіом алгебри октав, її несуперечність і категоричність
Визначення. Алгеброю октав називається алгебра, якщо:
I. Алгебра - альтернативна лінійна алгебра;
II. Тіло кватерніонів є подтело алгебри;
III. е 2 = -1 І е в‰ i, е в‰ j, е в‰ k;
IV.Всякая подалгебра альтернативної лінійної алгебри, що містить тіло кватерніонів і елемент е, збігається з алгеброю.
1.1 Несуперечність системи аксіом алгебри октав
Теорема 1 . Система аксіом алгебри октав несуперечлива. Для доказу несуперечності сформульованої вище системи аксіом побудуємо наступну модель. Складемо декартовій твір K x K = {(u, v) | uK vK}, де К - безліч кватерніонів. За визначенням, (u 1 ; v 1 ) = (u 2 ; v 2 ) u 1 = u 2 v 1 = v 2.
Під безлічі До х K визначимо операції додавання і множення за правилами:
(u 1 ; v 1 ) + (u 2 ; v 2 ) = (u < sub> 1 + u 2 ; v 1 + v 2 );
(u 1 ; v 1 ) * (u 2 ; v 2 ) = (u < sub> 1 u 2 - v 2 v 1 ; v 2 u 1 + v 1 Е« 2 ) .
Перейдемо до перевірки виконання аксіом на побудованій моделі. Покажемо, що алгебра є альтернативна лінійна алгебра.
Спочатку покажемо, що (До x К, +) є абелева група.
1) ((u 1 ; v 1 ) + (u 2 ; v 2 )) + (u 3 ; v 3 ) = (u 1 + u 2 ; v 1 + v 2 ) + (u 3 ; v 3 ) = (( u 1 + u 2 ) + u 3 ; (v 1 + v 2 ) + v 3 ) = (u 1 + ( u 2 + u 3 ); v 1 + (v 2 + v 3 )) = ((u 1 ; v 1 ) + (u 2 + u 3 ; v 2 + v 3 ) = (u 1 ; v 1 ) + ((u 2 ; v 2 ) + (u 3 ; v 3 )),
тобто додавання в (К х K, +) асоціативно.
2) (u 1 ; v 1 ) + (u 2 ; v 2 ) = ( u 1 + u 2 ; v 1 + v 2 ) = (u 2 + u 1 ; v 2 + v 1 ) = (u 2 ; v 2 ) + (U 1 ; v 1 ),
тобто додавання в (К х K, +) комутативність.
3) Вирішимо рівняння
(u; v) + (x; y) = (u; v);
(u + x; v + y) = (u; v) u + x = u ^ v + y = v; x = 0, y = 0, тобто (X; у) = (0; 0).
Отже, нейтральним елементом в (К х K, +) є пара (0; 0). Позначимо (0; 0) = 0 U .
4) Вирішимо рівняння
(u; v) + (x; y) = (0; 0):
(u + x; v + y) = (0; 0) u + x = 0 ^ v + y = 0 x = - u ^ y = - v, тобто (X; у) = (- U; - v) або - (u; v) = (- u; - v).
З 1), 4) випливає, що алгебра (К х K, +) є абелева група. Покажемо, що алгебра (К х K, +,.) Є кільце, але не асоціативне і не коммутативное.
5) Покажемо, що множення в дистрибутивно щодо складання як зліва, так і праворуч.
З одного боку:
((u 1 ; v 1 ) + (u 2 ; v 2 )) (u 3 ; v 3 ) = (u 1 + u 2 ; v 1 + v 2 ) (u 3 ; v 3 ) = ((u 1 + u 2 ) u 3 - 3 (v 1 + v 2 ); v 3 (u 1 + u 2 ) + (v 1 + v 2 ) Е« 3 ) = (u 1 u 3 + u 2 u 3 - 3 v 1 - 3 v 2 ; v 3 u 1 + v 3 u 2 + v 1 Е« 3 + v < sub> 2 Е« 3 ).
З іншого боку:
(u 1 ; v 1
