М.В. Кретов
1. Моделювання випадкової величини, розподіленої по рівномірному Законом
Безперервна випадкова величина має рівномірний розподіл на відрізку, якщо її функція розподілу задається наступною формулою:
,
Щільність розподілу ймовірностей при цьому має вигляд:
Математичне очікування і дисперсія випадкової величини відповідно дорівнюють [3]:
,.
Позначимо буквою випадкову величину з рівномірним розподілом на відрізку. Для цієї випадкової величини функція розподілу і щільність розподілу ймовірностей відповідно мають вигляд:
,
Якщо, то ймовірність
Моделювати випадкову величину можна багатьма способами [1].
Ми розглянемо метод псевдовипадкових послідовностей, який найбільш просто реалізується в комп'ютері. Для отримання псевдовипадкової послідовності використовуємо алгоритм, який називається методом середини квадратів [4]. Пояснимо його на прикладі. Візьмемо деяке число. Нехай Зведемо його в квадрат: Виберемо чотири середні цифри цього числа і покладемо Потім будуємо в квадрат: і знову вибираємо чотири середні цифри. Отримуємо Далі знаходимо і т. д. Послідовність чисел приймають за послідовність значень випадкової величини має рівномірний розподіл на відрізку. Для оцінки ступеня наближення послідовності до послідовності випадкових чисел з рівномірним розподілом використовують статистичні критерії, наприклад, аналогічні критерієм, який використовується в роботі [2].
2. Моделювання послідовності незалежних випадкових випробувань
Нехай проводиться послідовність незалежних випробувань. В результаті кожного випробування може статися одне з несумісних подій об'єднання яких збігається з простором елементарних подій. Відома ймовірність появи кожної події,, яка не змінюється при переході від одного випробування до іншого. Очевидно, що.
Моделювання послідовності випробувань проводиться таким чином. Розділимо відрізок на ділянок довжини яких відповідно рівні Отримуємо послідовність значень випадкової величини Якщо, то вважаємо, що в-м випробуванні настало подія, так як
.
3. Моделювання випадкової величини дискретного типу
А. Загальний алгоритм моделювання.
Якщо випадкова величина дискретна, то її моделювання можна звести до моделюванню незалежних випробувань. У самому справі, нехай має місце наступний ряд розподілу:
...
...
Позначимо через подію, яка полягає в тому, що випадкова величина прийме значення, при цьому. Тоді знаходження значення, прийнятого випадковою величиною в результаті випробування, зводиться до визначення того, яка з подій з'явиться. Так як події несумісні і ймовірність появи кожного з них не змінюється від випробування до випробування, то для визначення послідовності значень, прийнятих випадковою величиною можна використовувати алгоритм моделювання послідовності незалежних випробувань.
Б. Моделювання випадкової величини з біноміального розподілу.
Випадкова величина вважається розподіленим по біноміальному законом, якщо
де - імовірність появи деякої події в кожному окремо взятому випробуванні; - ймовірність появи події в незалежних випробуваннях раз.
Введемо випадкову величину - число появ події в-ом випробуванні, Для цієї величини має місце:
,. (1)
Тоді випадкове число появ події в випробуваннях визначається за формулою
. (2)
Виходячи з формул (1) і (2), значення випадкової величини визначаються наступним чином:
1) знаходять послідовність значень випадкової величини
2) для кожного числа, перевіряють, чи виконується нерівність якщо нерівність виконується, то вважають в іншому випадку вважають
3) знаходять суму значень випадкових величин яка збігається зі значенням
Повторюючи цей алгоритм, отримаємо послідовність значень випадкової величини з Біноміальний закон розподілу.
В. Моделювання випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона.
Розподілом Пуассона називається розподіл ймовірностей дискретної випадкової величини, задаваемое формулою:
,,
де - число подій найпростішого потоку, що наступають за деякий проміжок часу. Розподіл Пуассона застосовується замість біноміального розподілу тоді, коли число незалежних випробувань велике (близько декількох сотень), а ймовірність появи події в кожному окремо взятому випробуванні мала, при цьому бажано, щоб мало місце.
Алгоритм моделювання випадкової величини, розподіленої за законом Пуассона при заданому параметрі можна представити таким чином:
1) вибираємо таким чином, щоб ймовірність була досить малою, наприклад, менше 0, 01;
2) отримуємо послідовність значень випадкової величини, рівномірно розподіленої на відрізку;
3) для кожного числа, перевіряємо, чи виконується нерівність; якщо це нерівність виконується, то вважають, у противному випадку вважаємо;
4) обчислюємо суму яка збігається зі значенням випадкової величини розподіленої за законом Пуассона.
4. Моделювання випадкової величини
абсолютно безперервного типу
А. Метод зворотних функцій.
Нехай випадкова величина має монотонно зростаючу функцію розподілу. Відомо, що значить, випадкова величина з монотонно зростаючою функцією розподілу пов'язана з випадковою величиною співвідношенням
.
Звідси випливає, що значення випадкової величини є рішенням рівняння
, (3)
де - значення випадкової величини тобто
.
Послідовності значень випадкової величини відповідає послідовність значень випадкової величини з функцією розподілу.
Б. Моделювання випадкової величини з рівномірним розподілом на відрізку.
Нехай випадкова величина має рівномірний розподіл на відрізку. Тоді її функція розподілу має вигляд:
.
Складемо рівняння (3), отримаємо
,
звідки
.
Послідовності значень випадкової величини відповідає послідовність значень
,, ...
випадкової величини рівномірно розподіленим на відрізку.
В. Моделювання випадкової величини з показовим розподілом.
Нехай випадкова величина має показове розподіл з параметром . Тоді функція розподілу цієї випадкової величини
,.
Складемо рівняння (3). Маємо
. (4)
Вирішуємо рівняння (4) відносно отримуємо
. (5)
Так як - випадкова величина, рівномірно розподілена на, то і є також випадковою величиною, розподіленої по рівномірному закону на відрізку. Тому замість формули (5) для моделювання випадкової величини можна використовувати формулу
.
Г. Моделювання випадкової величини з нормальним розподілом.
Випадкова величина має нормальний закон розподілу, якщо її функція розподілу має вигляд:
,
де і - параметри.
Для комп'ютерного моделювання випадкової величини з нормальним законом розподілу можна використовувати як метод зворотних функцій, так і метод, спеціально розроблений для нормального закону.
Згідно центральної граничної теореми, якщо випадкові величини незалежні, однаково розподілені і їх математичне сподівання і дисперсія кінцеві, то при збільшенні закон розподілу суми
наближається до нормальному. Потрібно знайти значення випадкової величини розподіленої за нормальним законом з математичним очікуванням і дисперсією.
Нехай - незалежні випадкові величини, рівномірно розподілені на відрізку. Позначимо
. (6)
Враховуючи, знайдемо:
.
При достатньо великому можна вважати, що випадкова величина має нормальний закон розподілу з математичним очікуванням і дисперсією.
Пронорміруем випадкову величину, отримаємо:
. (7)
Для випадкової величини має місце
,.
Перейдемо від випадкової величини до стандартної нормально розподіленої випадкової величині
.
Тоді
.
Враховуючи (6) і (7), отримуємо:
Наприклад, при
.
Звідси значення випадкової величини визначиться за формулою
, (8)
де - значення випадкової величини, рівномірно розподіленої на відрізку.
Таким чином, маючи 12 значень випадкової величини і підставляючи їх у формулу (8), отримуємо значення випадкової величини маючи наступні 12 значень величини і підставивши їх у формулу (8), отримаємо таке значення випадкової величини і т. д.
Список літератури
1. Калініна В.М., Панкін В.Ф. Математична статистика. М.: Вищ. шк., 2001.
2. Кретов М.В. Імовірнісні методи оцінки міцності будівельних матеріалів// Міжнародна наукова конференція В«Інновація в науці та освіті-2003В». Калінінград, 2003. С. 228.
3. Кретов М.В. Теорія ймовірностей і математична статистика. Калінінград: Бурштиновий сказ, 2004.
4. Нейман Ю. Вступний курс теорії ймовірностей і математичної статистики. М.: Наука, 1968.
