Курсова робота студента гр. МТ-31 Нургалієв А.
Інноваційний євразійський університет
Павлодар 2007 рік.
1. Введення.
Багато задачі математичної фізики приводять до диференціальних рівнянь із приватними похідними. У цій курсовій роботі розглянуті одні з основних рівнянь гіперболічного типу: 4-го і найбільш часто зустрічається 2-го порядку.
Розглянуто найпростіше рівняння гіперболічного типу - хвильове рівняння. До дослідження цього рівняння приводять розгляд процесів поперечних коливань струни, поздовжніх коливань стержня, електричних коливань в проводі, крутильних коливань валу, коливань газу і т. д. Наведено формулу Даламбера для вирішення крайових задач, а також її фізична інтерпретація.
Велике число задач про коливання стрижнів, пластин і т.д. призводить до рівнянь більш високого порядку. В якості прикладу на рівняння 4-го порядку розглянута задача про власні коливання камертона.
2. Метод розповсюджуються хвиль.
2.1. Виведення рівняння коливань струни.
В математичній фізиці під струною розуміють гнучку, пружну нитку. Напруги, виникають у струні в любий момент часу спрямовані по дотичній до її профілем. Нехай струна довжини l в початковий момент спрямована по відрізку осі 0x від 0 до l. Припустимо, що кінці струни закріплені в точках x = 0 і x = l. Якщо струну відхилити від її початкового положення, а потім надати самій собі або, не відхиляючи струни, надати в початковий момент її точкам деяку швидкість, або відхилити струну і надати її точкам деяку швидкість, то точки струни будуть здійснювати рухи - кажуть, струна почне коливатися. Завдання полягає у визначенні форми струни в любий момент часу і визначенні закону руху кожної точки струни в залежності від часу.
Будемо розглядати малі відхилення точок струни від початкового положення. В силу цього можна припускати, що рух точок струни відбувається перпендикулярно осі 0x і в одній площині. При цьому припущенні процес коливання струни описується однією функцією u (x, t) яка дає величину переміщення точки струни з абсцисою x у момент t.
Так як ми розглядаємо малі відхилення точок струни в площині (x, u), то будемо припускати, що довжина елемента струни M1M2 дорівнює її проекції на вісь 0x, тобто M1M2 = x2-x1. Також будемо припускати, що натяг в усіх точках струни однакове; позначимо його через T.
Розглянемо елемент струни MM '.
На кінцях цього елемента, по дотичним до струни, діють сили T. Нехай дотичні утворюють віссю 0x кути і. Тоді проекція на вісь 0u сил, діючих на елемент MM ', буде рівна. Так як кут малий, то можна покласти, і ми будемо мати:
(тут ми застосували теорему Лагранжа до виразу, що стоїть у квадратних дужках).
Щоб отримати рівняння руху, потрібно зовнішні сили, прикладені до елемента, прирівняти силі інерції. Нехай маса елемента струни буде. Прискорення елемента дорівнює. Отже, за принципом Даламбера будемо мати:
Скорочуючи на і позначаючи, отримуємо рівняння руху
(1)
Це і є хвильове рівняння - рівняння коливання струни. Для повного визначення руху струни одного рівняння (1) недостатньо. Шукана функція u (x, t) повинна задовольняти ще граничним умови, що вказує, що робиться на кінцях струни (x = 0 і x = l), та початковим умовам, що описує стан струни в початковий момент (t = 0). Сукупність граничних та початкових умов називається крайовими умовами:
2.2. Формула Даламбера.
Вивчення методів побудови розв'язків крайових задач для рівнянь гіперболічного типу почнемо з задачі з початковими умовами для необмеженої струни:
(2)
(3)
Перетворимо це рівняння до канонічного виду, що містить змішану похідну. Рівняння характеристик
розпадається на два рівняння:
,,
інтегралами яких є прямі
,.
Вводячи нові змінні
,,
рівняння коливання струни перетворимо до вигляду:
. (4)
Знайдемо загальний інтеграл останнього рівняння. Очевидно, для всякого розв'язку рівняння (4)
,
де - Деяка функція тільки змінного. Інтегруючи це рівність по при фіксованому, отримаємо
, (5)
де і є функціями тільки змінних і. Зворотно, які б не були двічі диференційовні функції і, функція, визначувана формулою (5), являє собою рішення рівняння (4). Так як всяке рішення рівняння (4) може бути представлено у вигляді (5) при відповідному виборі і, то формула (5) є загальним інтегралом цього рівняння. Отже, функція
(6)
є загальним інтегралом рівняння (2).
Припустимо, що рішення розглянутої задачі існує; тоді воно дається формулою (6). Визначимо функції і таким чином, щоб задовольнялися початкові умови:
(7)
. (8)
Інтегруючи друга рівність, отримаємо:
де і C - постійні. З рівності
знаходимо:
(9)
Таким чином, ми визначили функції і через задані функції і, причому рівності (9) повинні мати місце для будь-якого значення аргументу. Підставляючи в (6) знайдені значення і, одержимо:
або
, (10)
Формулу (10), звану формулою Даламбера, ми отримали, припускаючи існування вирішення поставленого завдання. Ця формула доводить єдиність рішення. В Насправді, якби існувало друге рішення задачі (2) - (3), то воно уявлялося б формулою (10) і збігалося б з першим рішенням.
Неважко перевірити, що формула (10) задовольняє (в припущенні дворазової дифференцируемости функції та одноразової дифференцируемости функції) рівнянню і початковим умовам. Таким чином, викладений метод доводить як єдиність, так і існування рішення поставленої задачі.
2.2.2.Фізіческій інтерпретація.
Функція , Визначувана формулою (10), являє собою процес поширення початкового відхилення і початковій швидкості. Якщо фіксувати, то функція дає профіль струни в момент, фіксуючи, отримаємо функцію, яка дає процес руху точки. Припустимо, що спостерігач, який знаходився в точці x = 0 в момент t = 0, рухається зі швидкістю a в позитивному напрямку. Введемо систему координат, пов'язану з спостерігачем, вважаючи,. У цій рухомій системі координат функція буде визначаться формулою і спостерігач весь час буде бачити той же профіль, що і в початковий момент. Отже, функція являє незмінний профіль f (x), переміщається вправо (в позитивному напрямі осі x) зі швидкістю a (Распространяющуюся або біжить хвилю). Функція f (x + at) представляє, очевидно, хвилю, що поширюється наліво (в негативному напрямку осі x) зі швидкістю a. Таким чином, загальне рішення (10) задачі Коші для нескінченної струни є суперпозиція двох хвиль, одна з яких поширюється направо зі швидкістю a, а друга - наліво з тією ж швидкістю. При цьому
,
де .
Для з'ясування характеру рішення (10) зручно користуватися площиною станів (x, t) або В«фазової площиноюВ». Прямі x-at = const і x + at = const є характеристиками рівняння (2). Функція уздовж характеристики x-at = const зберігає постійне значення, функція постійна уздовж характеристики x + at = const.
Припустимо, що f (x) відмінна від нуля тільки в інтервалі і дорівнює нулю поза цим інтервалу. Проведемо характеристики і через точки і; вони розбивають полуплоскость (x, t> 0) на три області I, II, та III (рис. 3, а).
Функція відмінна від нуля тільки в області II, де і характеристики і представляють передній і задній фронти розпросторюється направо хвилі.
Розглянемо тепер деяку фіксовану точку і наведемо з неї обидві характеристики і, які перетнуть вісь x у точках, t = 0 і, t = 0. Значення функції в точці одно, тобто визначається значеннями функцій і в точках і, які є вершинами трикутника MPQ (рис. 3, б), утвореного двома характеристиками і віссю x. Цей трикутник називається характеристичним трикутником т...
