Функція - одне з основних математичних і загальнонаукових понять. Воно відіграло і понині грає велику роль в пізнанні реального світу.
Пропедевтичний період (з найдавніших часів до 17 століття)
Ідея функціональної залежності сходить до старовини. Її зміст виявляється вже в перших математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах для знаходження площі та обсягу тих або інших фігур. Так, вавилонські вчені (4 - 5 тис. років тому) хай і несвідомо, встановили, що площа кола є функцією від його радіуса допомогою знаходження грубо наближеною формули: S = 3r2. Прикладами табличного завдання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків та індійців, а прикладами словесного завдання функції - теорема про сталість відносини площ кола і квадрата на його діаметрі або античні визначення конічних перетинів, причому самі ці криві виступали в якості геометричних образів відповідної залежності.
Введення поняття функції через механічне та геометричне представлення (17 століття)
Починаючи лише з 17 століття у зв'язку з проникненням в математику ідеї змінних поняття функції явно і цілком свідомо застосовується.
Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Вієт і Рене Декарт; вони розробили єдину буквену математичну символіку, яка незабаром отримала загальне визнання. Введено було єдине позначення: невідомих - останніми літерами латинського алфавіту: x, y, z, відомих - початковими буквами того ж алфавіту: a, b, c, ... і т. д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані, але і багато інших; в математику прийшла ідея зміни. Тим самим з'явилася можливість записувати загальні формули.
Крім того, у Декарта і Ферма (1601 - 1665) у геометричних роботах з'являється чітке уявлення змінної величини і прямокутної системи координат. У своїй "Геометрії" в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміна ординати точки залежно від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притому переважно алгебраїчних. Поступово поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з поняттям аналітичного виразу - формули. У 1671 році Ньютон під функцією став розуміти змінну величину, яка змінюється з плином часу (він називав її "флюент").
В "Геометрії" Декарта і роботах Ферма, Ньютона і Лейбніца поняття функції носило, по суті, інтуїтивний характер і було пов'язано або з геометричними, або з механічними уявленнями: ординати точок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т. п.
Аналітичне визначення функції (17 - початок 19 століття)
Саме слово "функція" (від латинського functio - Вчинення, виконання) було вперше вжито німецьким математиком Лейбніцем в 1673 р. в листі до Гюйгенсу (під функцією розумів відрізок, довжина якого змінюється по якомусь певному закону), у пресі він його ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року Лейбніц ввів також терміни "Змінна" і "константа". У 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, що зв'язує одну змінну з іншого. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначенню вперше зробив швейцарський математик Йоганн Бернуллі (1667 - 1748), який в 1718 році визначив функцію наступним чином: "функцією змінної величини називають кількість, освічене яким завгодно способом з цієї змінної величини і постійних ". Для позначення довільній функції від x Бернуллі застосував знак j (x), називаючи характеристикою функції, а також літери x або e; Лейбніц вживав x1, x2 замість сучасних f1 (x), f2 (x). Ейлер позначив через f: y, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f (x), f (x + y).
Поряд з цим Ейлер пропонує використовувати літери F, Y та інші. Даламбер зробив крок вперед на шляху до сучасних позначенням, відкидаючи двокрапка Ейлера; він пише, наприклад, jt, j (t + s).
Остаточну формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив в 1748 році учень Бернуллі Ейлер (під "Запровадження в аналіз нескінченного"): "Функція змінного кількості є аналітичний вираз, складене яким-небудь чином з цієї кількості і чисел або постійних кількостей ". Так розуміли функцію протягом майже всього 18 століття Даламбер (1717 - 1783), Лагранж (1736 - 1813), Фур'є (1768 - 1830) та інші видатні математики. Що стосується Ейлера, то він не завжди дотримувався вищевказаного визначення; в його роботах поняття функції піддавалося подальшого розвитку відповідно до запитів математичного аналізу.
В "Диференціальному обчисленні", що вийшов у світло в 1755 році, Ейлер дає загальне визначення функції: "Коли деякі кількості залежать один від одного таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, то перші називають функцією других ". "Це найменування, - продовжує далі Ейлер, - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається з допомогою інших ".
Як видно з представлених визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним виразом. Нові кроки в розвитку природознавства і математики викликали й подальше узагальнення поняття функції.
Одним з невирішених питань, пов'язаних з поняттям функції, з приводу якого велася запекла боротьба думок, був наступний: чи можна одну функцію задати декількома аналітичними виразами?
Великий внесок у вирішення суперечки Ейлера, Даламбера, Бернуллі та інших учених 18 століття з приводу того, що варто розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батіст Жозеф Фур'є (1768 - 1830), займався основному математичної фізикою. У експонованих їм у Паризьку АН в 1807 - 1811 рр.. "Мемуарах з теорії поширення тепла в твердому тілі ", Фур'є навів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними виразами.
З праць Фур'є випливало, що будь-яка крива, незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складається, може бути представлена ​​у вигляді єдиного аналітичного вираження і що маються також перериваним криві, зображувані аналітичним виразом. У своєму "Курсі алгебраїчного аналізу ", опублікованому в 1721 р., французький математик О. Коші обгрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на деякому етапі розвитку фізики і математики стало ясно, що доводиться користуватися і такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідну математикою і природознавством розширення поняття функції.
Ідея відповідності (19 століття)
У 1834 році в роботі "Про зникання тригонометричних рядків "Н. І. Лобачевський, розвиваючи вищезгадане Ейлеровское визначення функції в 1755 р., писав: "Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, яке дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано і аналітичним виразом, або умовою, яка подає засіб відчувати всі числа і вибирати одне з них; або, нарешті, залежність може існувати, або залишатися невідомою ... Обширний погляд теорії допускає існування Залежно тільки в тому сенсі, щоб числа, одні з іншими в зв'язку, приймати як би даними разом ".
Ще до Лобачевського аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена ​​чеським математиком Б. Больцано. Таким чином, сучасне визначення функції, вільний від згадки про аналітичному завданні, зазвичай приписуване Дирихле, неодноразово пропонувалося і до нього. В 1837 німецький математик П. Л. Діріхле так сформулював загальне визначення поняття функції: "y є функція змінної x (на відрізку a
Прикладом, відповідним цьому заг...
