Введення
Дана задача полягає у вирішенні певного інтеграла по квадратурної формулою Чебишева. Як відомо, обчислення визначеного інтеграла зводиться до обчислення площі криволінійної трапеції, обмеженої кривими x = 0, y = a, y = b і y = f (x).
При обчисленні визначеного інтеграла можна скористатися відомою всім, формулою Ньютона - Лейбніца, за умови f (x) неперервна на відрізку [a, b], а також визначена її первообразная F (x). Але під багатьох випадках первообразная виходить дуже складною для обчислення, та й функція часто задається таблично. Тому великого значення набуває наближене і в першу чергу чисельне інтегрування, завдання якого полягає в знаходженні наближеного значення інтеграла по заданих або обчисленими значеннями підінтегральна функція f (x) в деяких точках (вузлах) відрізка [a, b].
Механічна квадратура - чисельне значення однократного інтеграла, і формули чисельного інтегрування відповідно називають квадратурних.
Міняючи подинтегральную функцію небудь інтерполяційним многочленом, отримуємо квадратурні формули, де xk - вибрані вузли інтерполяції; A k - коефіцієнти, залежні тільки від вибору вузлів, але не від виду функції (k = 0, 1, 2, ........, n); R - залишковий член, або похибка квадратурної формули, відкинувши який отримаємо похибка усікання. Далі, при розрахунку до похибки усікання додаються інші похибки округлення.
Розбивши відрізок інтегрування [a, b] на n рівних частин отримаємо наступне: xi = xo + i .. h; (i = 0, 1, 2, ......, n) x o = a; x n = b; h = (b-a)/n. Обчислимо подинтегральную функцію в отриманих вузлах: yi = f (x i); (i = 0, 1, 2, ......, n).
Для виведення формул чисельного інтегрування скористаємося інтерполяційним поліномом Лагранжа.
Нехай для функції y = f (x) відомі в n + 1 точках X0, X1, X2, Xn проміжку [a, b] відповідні визначення f (xi) = yi (i = 0,1,2 .. n). За заданим значенням Yi будуємо поліном Лагранжа, замінюючи f (x) поліномом Ln (x), де Rn (f) - помилка квадратурної формули. Скориставшись виразом для Ln (x), отримаємо наближену квадратурну формулу.
Однак зауважимо, наступне: коефіцієнти Ai при даному розташуванні вузлів залежить від вибору функції f (x); для полінома ступеня n остання формула точна.
Вважаючи, що y = xK (k = 0, 1, 2 .., n), отримаємо лінійну систему з n + 1 рівнянь, де (k = 0, 1, .., n), з якої можна визначити коефіцієнти А0, А1, .., АN. Визначник системи є визначник Вандермонда/
Але також необхідно відмітити, що при застосуванні даного методу фактично побудова полінома Лагранжа Ln (x) є зайвим. Простий метод підрахунку похибки квадратурних формул розроблений С. М. Нікольським.
Застосовуючи метод трапецій і середніх прямокутників, інтеграл буде чисельно дорівнювати сумі площ прямокутних трапецій, де підставу трапеції яка-небудь мала величина (точність), і сумі площ прямокутників, де підстава прямокутника яка-небудь мала величина (Точність), а висота визначається по точці перетину верхнього підстави прямокутника, графік функції повинен перетинати в середині.
Визначимо загальну формулу Сімпсона (параболічна формула) за наступними умовами: нехай n = 2m є парне число і yi = f (xi) (i = 0, 1, 2 ... n) - значення функції y = f (x) для рівновіддалених точок а = x0, x1, ... , Xn = b з кроком h. Застосувавши формулу Сімпсона до кожного подвоєному проміжку [X0, x2], [x2, x4] ... [X2m-2, x2m] довжини 2h і запровадивши позначення s 1 = y 1 + y 2 + ... + Y 2m-1 s 2 = y 2 + y 4 + ... + Y 2m отримаємо узагальнену формулу Сімпсона та залишковий член формули Сімпсона в загальному вигляді, де xk I (x 2к-2, x 2к).
Розглянемо квадратурну формулу Чебишева: нехай дана функція f (x) у вигляді многочлена f (x) = ao + a 1 x + ... + anx n. Проінтегрувавши, перетворивши і підставивши значення багаточлена у вузлах:
f (x 1) = a 0 + a 1 x 1 + A 2 x 12 + a 3 x 13 + ... + a n x 1n
f (x 2) = a 0 + a 1 x 2 + A 2 x 22 + a 3 x 23 + ... + a n x 2n
f (x 3) = a 0 + a 1 x 3 + A 2 x 32 + a 3 x 33 + ... + a n x 3n
f (x n) = a 0 + a 1 x n + A 2 x n2 + a 3 x n3 + ... + a n x nn
отримаємо формулу Чебишева.
Значення х1, х2, .., хn для різних n наведені нижче в таблиці:
n
I
t i
n
i
t i
2
1; 2
В± 0,577350
6
1; 6
В± 0,866247
3
1; 3
В± 0,707107
2; 5
В± 0,422519
2
0
3; 4
В± 0,266635
4
1; 4
В± 0,794654
7
1; 7
В± 0,883862
2; 3
В± 0,187592
2; 6
В± 0,529657
5
1; 5
В± 0,832498
3; 5
В± 0,321912
2; 4
В± 0,374541
4
0
3
0
Рішення контрольного прикладу: f (x) = sin (x); де a = 0; при n = 5.
i
x i
y i
1
0,131489
0,131118
2
0,490985
0,471494
3
0,785
0,706825
4
0,509015
0,487317
5
0,868511
0,763367
x 1 = p/4 + p/4 * t 1 = p/4 + p/4 (-0,832498) = 0,131489
x 2 = p/4 + p/4 * t 2 = p/4 + p/4 (-0,374341) = 0,490985
x 3 = p/4 + p/4 * t 3 = p/4 + p/4 * 0 = 0,785
x 4 = 1 - x 2 = 1-0,490985 = 0,509015
x 5 = 1 - x 1 = 1-0,131489 = 0,868511
y 1 = sin (x 1) = sin (0,131489) = 0,131118
y 2 = sin (x 2) = sin (0,490985) = 0,471494
y 3 = sin (x 3) = sin (0,785) = 0,706825
y 4 = sin (x 4) = sin (0,509015) = 0,487317
y 5 = sin (x 5) = sin (0,868511) = 0,763367
I = p/10 (0,131118 + 0,471494 +0,706825 +0,487317 +0,763367) = p/10 * 2,560121 = 0,8038779
Опис алгоритму програми.
Процедура TABL - це підпрограма, що здійснює висновок таблиці вузлів (аргумент - функція).
Процедура CHEB - використовуючи масиви xi і yi, вираховує по квадратурної формулою Чебишева наближене значення інтеграла.
Процедура FORM - використовуючи масив, що містить аргументи x i заповнює масив y i.
Процедура VVOD - заповнює масив, що містить в собі аргументи x i.
При запуску програми необхідно ввести кордону інтегрування. Після введення кордонів інтегрування використовується процедура VVOD, а потім вираховується і виводиться на екран крок табулювання функції h. Після цього використовуємо процедури FORM і CHEB. Отримавши результат, виводимо таблицю (Процедура TABL) і інтеграл.
Роблячи висновок по дослідженню нашої роботи можна зауважити, що обчислення визначених інтегралів за допомогою квадратурних формул, а зокрема за формулою Чебишева не дає нам точного значення, а лише наближене. Щоб обчислити інтеграл більш точно потрібно вміти правильно вибрати метод і формулу, по якій буде вестися розрахунок. Також важливо який буде взятий крок інтегрування. На практиці не завжди можна вирішити завдання інтегрування аналітичним способом, тому необхідно знати чисельні методи, хоча й вони не можуть дати точного значення інтеграла.
Лістинг програми: program integral; uses crt; const n = 5; k = -0.832498; l = -0.374541; z = 0.0; type aa = array [1 .. n] of real; var x, y: aa; a, b, h, ich: real; {заповнення х-сов в масив х [5]}; procedure vvod (var a, b: real; var c: aa); var i: integer; t: aa...
