Антагоністичні гри, які ми вивчали раніше, описують конфлікти вельми приватного виду. Більш того, для більшості мають місце в реальному житті конфліктів антагоністичні гри або зовсім не можуть вважатися прийнятними, адекватними описами, або, в кращому випадку, можуть розглядатися як перші грубі наближення.
перше, антагоністичні гри ніяк не зачіпають своїми описами конфлікти з числом рядків, великим ніж два. У місці з тим, такі багатосторонні конфлікти не тільки зустрічаються в дійсності, але є принципово більш складними, ніж конфлікти з двома учасниками, і навіть не піддаються зведенню до останнім.
друге, навіть у конфліктах з двома учасниками інтереси сторін зовсім не зобов'язані бути протилежними; під багатьох конфліктах такого роду трапляється так, що одна з ситуацій виявляється переважніше іншого для обох учасників.
третє, навіть якщо будь-які дві ситуації порівнюються гравцями по їхньої переваги протилежним чином, різниця різниць в оцінках цієї переваги залишає місце для угод, компромісів і кооперацій.
Нарешті, по-четверте, змістовна гострота конфлікту не обов'язково відповідає його формальної антагоністичності. Наприклад, при зустрічі двох бойових одиниць воюючих сторін (Скажімо, танків) обопільне їх прагнення знищити один одного не виражає антогоністічності конфлікту: в антогоністіческіе конфлікті мети сторін виявляються суворо протилежними, і прагненню одного боку знищити іншу протилежним буде прагнення уникнути знищення.
Як приклад баї розглянемо:
1. Ігри двох осіб з довільною сумою.
безкоаліційний гри.
У кінцевій безкоаліційний грі двох гравців (КБІДІ) кожен з них робить один хід - вибирає одну стратегію з наявного у нього кінцевого числа стратегій, і після цього він отримує свій виграш згідно з визначеними для кожного з них матрицями виграшів. Іншими словами КБІДІ повністю визначається двома матрицями виграшів для двох гравців. Тому такі ігри називаються біматричних. Нехай у гравця 1 мається m стратегій, i =, у гравця 2 є n стратегій, j =. Виграші гравців 1 і 2 відповідно задаються матрицями
А =, В =
Будемо, як і раніше вважати повний набір ймовірностей x = (x1, ..., xm) застосування 1 гравцем своїх чистих стратегій змішаною стратегією гравця 1, і у = (y1, ..., yn) - змішаною стратегією гравця 2. тоді середні виграші гравців 1 і 2 відповідно рівні
Ситуація рівноваги для біматричних гри складає пару (x, y) таких змішаних стратегій гравців 1 і 2, які задовольняють нерівностям:
або
Для визначення ситуацій рівноваги необхідно вирішити систему нерівностей (1) і (2) (і) щодо невідомих x = (x1, ..., xm) і у = (y1, ..., yn) при умовах
,, xi Ві 0 (i =), yj Ві 0 (j =).
Теорема (Неша). Кожна біматричних гра має принаймні одну ситуацію рівноваги.
В якості прикладу розглянемо випадок, коли кожен гравець має дві чисті стратегії. У цьому випадку матриці A і B рівні:
A =, B =.
Змішані стратегії для гравців 1 і 2 мають вигляд:
(x, 1 - x), (y, 1 - y) 0 ВЈ x ВЈ 1; 0 ВЈ y ВЈ 1,
а середні виграші дорівнюють:
E1 (A, x, y) = xA = (x; 1 - x) =
= (a11 - a12 - a21 + a22) xy + (a12 - a22) x + (a21 - a22) y + a22.
E2 (B, x, y) = xB = (x; 1 - x) =
= (b11 - b12 - b21 + b22) xy + (b12 - b22) x + (b21 - b22) y + b22.
Умови та будуть виглядати
ВЈ E1 (A, x, y),
(x; 1 - x) ВЈ E2 (B, x, y),
або
Перетворивши (3) і (4), отримаємо
(1 - x) y + (1 - x) ВЈ 0
(a11 - a12 - a21 + a22) xy + (a12 - a22) x Ві 0
або
Т. о., безліч всіх прийнятних стратегій для гравця 1 задовольняє умовам (5) і (6), 0 ВЈ x ВЈ 1; 0 ВЈ y ВЈ 1. Щоб знайти x розглянемо 3 випадки:
1. Якщо x = 0, то (6) справедливо "y, а (5) має вигляд:
a1y - a2 ВЈ 0.
2. Якщо x = 1, то (5) справедливо "y, а (6) має вигляд:
a1y - a2 Ві 0.
3. Якщо 0
Отже, безліч До рішень системи (5) - (6) складається з
всіх ситуацій виду (0; y), якщо a1y - a2 ВЈ 0; 0 ВЈ y ВЈ 1;
всіх ситуацій виду (x; y), якщо a1y - a2 = 0; 0
всіх ситуацій виду (1; y), якщо a1y - a2 Ві 0; 0 ВЈ y ВЈ 1.
Якщо a1 = a2 = 0, то рішенням є xГЋ [0; 1], yГЋ [0; 1], оскільки всі нерівності (7) - (8) виконуються при всіх x і y, тобто безліч прийнятних для гравця 1 ситуацій покриває весь одиничний квадрат.
Якщо a1 = 0, a2 В№ 0, то виконується або (7), або (8), і тому рішенням є або x = 0, або x = 1 при 0 ВЈ y ВЈ 1 (прийнятною стратегії в грі не існує).
Якщо a1> 0, то з (7) отримуємо рішення
x = 0; y ВЈ: = a,
З (8) випливає ще рішення x = 1, y Ві a, з (9) випливає ще рішення
0
Якщо a1 <0, то рішення наступне:
x = 0, y Ві a; x = 1, y ВЈ a; 0
При цьому необхідно враховувати, що додатково має бути
0 ВЈ y ВЈ 1.
Геометрично це виглядає наступним чином:
y ВҐ y ВҐ y ВҐ
1 1 січня
a1> 0 a1> 0 a1> 0
a <0 a = 0 1
(x, a)
0 1 x 0 1 x 0 1 x
- ВҐ - ВҐ - ВҐ
y ВҐ y y
ВҐ ВҐ
1 a1> 0 1 a1> 0 1 a1 <0
(x, 1) a = 1 a> 1 (x, a) 0
(0, b)
x x x
0 - ВҐ 1 0 - ВҐ 1 0 - ВҐ 1
Для гравця 2 дослідження аналогічні. Якщо ввести позначення
b1: = b11 - b12 - b21 + b22
b2: = b22 -
то безліч L прийнятних для нього ситуацій складається з:
всіх ситуацій виду (x, 0), якщо b1x - b2 <0; 0 ВЈ x ВЈ 1,
всіх ситуацій виду (x, y), якщо b1x - b2 = 0; 0 ВЈ x ВЈ 1; 0
всіх ситуацій виду (x, 1), якщо b1x - b2> 0; 0 ВЈ x ВЈ 1.
Результати наступні:
якщо b1 = b2 = 0, то рішення 0 ВЈ x ВЈ 1; 0 ВЈ y ВЈ 1;
якщо b1 = 0; b2 В№ 0, то рішення або y = 0, або y = 1 при 0 ВЈ x ВЈ 1 (прийнятною стратегії в грі не існує);
якщо b1> 0, то рішення наступні:
y = 0, x <= b; y = 1, x> b; 0
якщо b1 <0, то рішення наступні:
y = 0, x> b; y = 1, x
При цьому необхідно враховувати, що 0 ВЈ x ВЈ 1.
y y
1 1
(b, y) (B, y)
x x
0 1 0 1
b1> 0 b1 <0
0
Рішенням гри є перетин множин K і L, тобто ті значення x і y, які є загальними для множин K і L.
y y
1 січня
x x
0 1 0 1
а) б)
При цьому зигзаги K і L можуть бути не тільки однаковою, але й протилежної спрямованості. У першому випадку зигзаги мають одну точку перетину, а по-другому - три. Середні виграші при цьому визначаються за формулами (*), якщо в них підставити отримане рішення x і y (Мал.)). Очевидно a входить в змішану стратегію гравця 2, хоча залежить тільки від виграшів 1 гравця; b входить в змішану стратегію гравця 1, хоча залежить тільки від виграшів гравця 2. Порівняння цих результатів з результатами рішення матричних ігор із нульовою сумою показує, що a збігається з оптимальною стратегією гравця 1 в матричній грі з матрицею A, а b - з оптимальної стратегією гравця 2 в матричній грі з матрицею B. Звідси можна зробити висновок, що рівноважна ситуація спрямовує поведінку гравців не тільки на максимізацію свого виграшу, скільки на мінімізацію виграшу супротивника.
З іншого боку, природно також розглядати підходящим поведінку гравців у кінцевих безкоаліційний іграх, спрямоване на максимізацію свого виграшу з урахуванням максимального протидії гравця, тобто відповідною стратегією гравця 1 вважати оптимальну змішану стратегію гравця 1 в матричній грі з матрицею A, а відповідною стратегією гравця 2 вважати оптимальну змішану стратегію гравця 2 в матричній грі з матрице...
