БІЛОРУСЬКИЙ АГРАРНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
КАФЕДРА ОБЧИСЛЮВАЛЬНОЇ ТЕХНІКИ
Курсова робота
на тему "обчислення певного інтеграла
методами трапецій і середніх прямокутників "
Студента 2-го курсу: Полушкіна О.А.
Науковий керівник: Севернева Є.В.
Мінськ, 1997
Зміст.
Введення, математичне обгрунтування та аналіз задачі. Алгоритм і його опис.
Лістинг програми.
Вихідні дані. Результати розрахунків і аналіз.
Висновок і висновки.
Список літератури.
Введення, математичне обгрунтування та аналіз задачі.
Відомо, що певний інтеграл функції типу чисельно є площа криволінійної трапеції обмеженої кривими x = 0, y = a, y = b і y = (Мал. 1). Є два методи обчислення цієї площі або певного інтеграла - метод трапецій (Рис. 2) і метод середніх прямокутників (Рис. 3).
Рис. 1. Криволінійна трапеція.
Рис. 2. Метод трапецій.
Рис. 3. Метод середніх прямокутників.
За методами трапецій і середніх прямокутників відповідно інтеграл дорівнює сумі площ прямокутних трапецій, де підстава трапеції яка-небудь мала величина (точність), і сума площ прямокутників, де підстава прямокутника яка-небудь мала величина (точність), а висота визначається по точці перетину верхнього підстави прямокутника, яке графік функції повинен перетинати в середині. Відповідно отримуємо формули площ -
для методу трапецій:
,
для методу середніх прямокутників:
.
Відповідно цим формулам і складемо алгоритм.
Алгоритм.
Рис. 4. Алгоритм роботи програми
integral.pas .
Лістинг програми.
Програма написана на Tubro Pascla 6.0 для MS-DOS. Нижче наведено її лістинг:
program Integral;
uses
Crt, Dos;
var
dx, x1, x2, e, i: real;
function Fx (x: real): real;
begin
Fx: = 2 + x; {У цьому місці запишіть функцію, для обчислення інтеграла.}
end;
procedure CountViaBar;
var
xx1, xx2: real;
c: longint;
begin
writeln ('----------------------------------------------- - ');
writeln ('-> Метод середніх прямокутників.');
writeln ('Всього ітерацій:', round (abs (x2-x1)/e));
i: = 0;
for c: = 1 to round (abs (x2-x1)/e) do begin
write ('Ітерація', c, chr (13));
xx1: = Fx (x1 + c * e);
xx2: = Fx (x1 + c * e + e);
i: = i + abs (xx1 + xx2)/2 * e;
end;
writeln ('----------------------------------------------- - ');
writeln ('Інтеграл =', i);
end;
procedure CountViaTrap;
var
xx1, xx2, xx3: real;
c: longint;
begin
writeln ('----------------------------------------------- - ');
writeln ('-> Метод трапецій.');
writeln ('Всього ітерацій:', round (abs (x2-x1)/e));
i: = 0;
for c: = 1 to round (abs (x2-x1)/e) do begin
write ('Ітерація', c, chr (13));
xx1: = Fx (x1 + c * e);
xx2: = Fx (x1 + c * e + e);
if xx2> xx1 then xx3: = xx1 else xx3: = xx2;
i: = i + abs (xx2-xx1) * e + abs (xx3) * e;
end;
writeln ('----------------------------------------------- - ');
writeln ('Інтеграл =', i);
end;
begin
writeln ('----------------------------------------------- - ');
writeln ('- = Програма обчислення певного інтеграла = -');
writeln ('Введіть вихідні значення:');
write ('Початкове значення x (x1) ='); Readln (x1);
write ('Кінцеве значення x (x2) ='); Readln (x2);
write ('Точність обчислення (e) ='); Readln (e);
CountViaBar;
CountViaTrap;
writeln ('----------------------------------------------- - ');
writeln ('Спасибі за використання програми; ^)');
end.
Вихідні дані. Результати розрахунків і аналіз.
Нижче наведено результат роботи написаної і скомпільованій:
----------------------------------------------- -
- = Програма обчислення певного інтеграла = -
Введіть вихідні значення:
Початкове значення x (x1) = 0
Кінцеве значення x (x2) = 10
Точність обчислення (e) = 0.01
------------------------------------------------
-> Метод середніх прямокутників.
Всього ітерацій: 1000
------------------------------------------------
Інтеграл = 7.0100000000E +01
------------------------------------------------
-> Метод трапецій.
Всього ітерацій: 1000
------------------------------------------------
Інтеграл = 7.0150000001E +01
------------------------------------------------
Спасибі за використання програми; ^)
Розрахунок перевірявся для функції, а певний інтеграл брався від 0 до 10, точність 0,01.
У результаті розрахунків одержуємо:
1. Інтеграл .
2. Методом трапецій .
3. Методом середніх прямокутників .
Також був зроблений розрахунок з точністю 0,1:
1. Інтеграл .
2. Методом трапецій .
3. Методом середніх прямокутників .
Висновок і висновки.
Таким чином очевидно, що при обчисленні визначених інтегралів методами трапецій і середніх прямокутників не дає нам точного значення, а тільки наближене.
Чим нижче задається чисельне значення точності обчислень (підстава трапеції або прямокутника, в залежності від методу), тим точніше результат одержуваний машиною. При цьому, число ітерацій становить обернено пропорційне від чисельного значення точності. Отже для більшої точності необхідно більше число ітерацій, що зумовлює зростання витрат часу обчислення інтеграла на комп'ютері обернено пропорційно точності обчислення.
Використання для обчислення одночасно двох методів (трапецій і середніх прямокутників) дозволило досліджувати залежність точності обчислень при застосуванні обох методів.
Отже при зниженні чисельного значення точності обчислень результати розрахунків по обох методів прагнуть один до одного і обидва до точного результату.
Список літератури.
Вольвач О.М., Крісевіч В.С. Програмування на мові Паскаль для ПЕОМ ЄС. Мінськ.: 1989 р.
Зуєв Е.А. Мова програмування Turbo Pascal. М.1992 р.
Скляров В.А. Знайомтеся: Паскаль. М. 1988
