ЗМІСТ.
Історична довідка Коротка теорія Методичні рекомендації щодо виконання завдань. Приклади виконання завдань. 1. Історична довідка
Гаус (Gaus) Карл Фрідріх (1777-1855), нім. математик, ин. Ч.-к. (1802) і ін. поч. ч. (1824) Петерб. АН. Для творчості Г. характерна органіч. зв'язок між теоретич. і прикладної матедатікой, широта проблематики. Тр. Г. справили великий вплив на розвиток алгебри (доказ осн. Теореми алгебри), теорії чисел (квадратичні відрахування), дифференц. геометрії (внутр. геометрія поверхонь), матем. фізики (принцип Г.), теорії електрики і магнетизму, геодезії (розробка методу найменших квадратів) і мн. розділів астрономії.
2. КОРОТКА ТЕОРІЯ.
Нехай дана система лінійних рівнянь
(1)
Коефіцієнти a11, 12, ..., a1n, ... , An1 , B2, ... , Bn вважаються заданими.
Вектор-рядок н x1, x2 , ... , Xn е. - називається рішенням системи (1), якщо при підстановці цих чисел замість змінних все рівняння системи (1) звертаються в правильне рівність.
Визначник n-го порядку D = з A до = З a ij з, складений з коефіцієнтів при невідомих , Називається визначником системи (1). В залежності від визначника системи (1) розрізняють наступні випадки.
a). Якщо D № 0, то система (1) має єдиний розв'язок, яке може бути знайдено методом Гаусса.
б). Якщо D = 0, то система (1) або має нескінченну безліч рішень, або несовместна, тобто рішень немає.
2. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ
1. Розглянемо систему 3-х лінійних рівнянь з трьома невідомими.
(2).
Метод Гаусса розв'язання системи (2) полягає в наступному:
Розділимо всі члени першого рівняння на, а потім, помноживши отримане рівняння на , Віднімемо його відповідно з другого і третього рівнянь системи (2). Тоді з другого і третього рівнянь невідоме буде виключено, і вийти система виду:
(3)
Тепер розділимо друге рівняння системи (3) на , Помножимо отримане рівняння на і віднімемо з третього рівняння. Тоді з третього рівняння невідоме буде виключено і вийти система трикутного вигляду:
(4)
З останнього рівняння системи (4) знаходимо, підставляючи знайдене
підставляючи знайдене значення в перше рівняння, знаходимо.
3. ПРИКЛАД.
Методом Гауса розв'язати систему:
Рішення: Розділивши рівняння (а) на 2, отримаємо систему
Віднімемо з рівняння (b) рівняння, помножене на 3, а з рівняння (c) -
рівняння, помножене на 4.
Розділивши рівняння () на -2,5, отримаємо:
Віднімемо з рівняння () рівняння , Помножене на -3:
З рівняння знаходимо Z = -2; підставивши це значення в рівняння, одержимо Y = 0,2-0,4 Z = 0,2-0,4 (-2) = 1; нарешті, підставивши значення Z = -2 і Y = 1 в рівняння (a1) , Знаходимо X = 0,5-0,5 Y-Z = 0,5-0,5 1 - (-2) = 2. Отже, отримуємо відповідь X = 2, Y = 1, Z = -2.
Перевірка:
