В основу всякого наукового дослідження, в тому числі і математичного, лежать дедуктивний та індуктивний методи. Дедукція (від латинського "deductio" - виведення) - перехід від загального до приватного, індукція (від латинського "inductio" - наведення) - вид узагальнень, пов'язаних з передбаченням результатів спостережень і експериментів на основі даних минулих років. В математиці дедуктивний метод ми застосовуємо, наприклад, в міркуваннях такого типу: дана фігура - прямокутник; біля кожного прямокутника діагоналі рівні. Індуктивний підхід зазвичай починається з аналізу і порівняння даних спостереження або експерименту. Багаторазовість повторення будь-якого факту призводить до індуктивному узагальненню. Індуктивний підхід люди, часто самі того не помічаючи, застосовують майже у всіх сферах діяльності. Так, наприклад, міркування, за допомогою яких суд дійшов рішенню, можна порівняти з індуктивними міркуваннями. Такі порівняння вже пропонувалися і обговорювалися авторитетами по судовій практиці. На підставі деяких відомих фактів висувається-яке припущення (гіпотеза). Якщо все знову виявлені факти не суперечать цьому припущенню і є наслідком його, то це припущення стає більш правдоподібним. Звичайно, для практики повсякденного і наукового мислення характерні узагальнення на основі дослідження не всіх випадків, а тільки деяких, оскільки число всіх випадків, як правило, практично неозора. Такі узагальнення називаються неповною індукцією.
Якщо ж загальне твердження вдається довести у всіх можливих випадках, то така індукція називається повної . Результат, отриманий неповної індукцією, взагалі кажучи, не є логічно обгрунтованим, доведеним. Відомо багато випадків, коли твердження, отримані неповної індукцією, були невірними У математиці прикладом такого твердження може служити наступне. Розглядаючи числа вигляду 2 ^ 2 ^ n +1, французький математик П. Ферма зауважив, що при n = 1,2,3,4 виходять прості числа. Він припустив, що всі числа такого виду прості. Однак Л. Ейлер знайшов, що вже при n = 5 число 2 ^ 32 +1 не є простим: воно ділиться на 641. Разом з тим неповна індукція є потужним евристичним методом відкриття нових істин, які підтверджуються іноді через багато років. Той же П. Ферма в 1630 р. сформулював і іншу теорему: "Для будь-якого натурального числа n> 2 рівняння x ^ n + y ^ n = z ^ n не має рішень цілих ненульових числах x, y, z". Багато математики намагалися довести або спростувати це твердження, але тільки в 1993 році (через 360 років!) Американський математик з Прінстонського університету Andrew Wiles (андре Вайль) довів цю теорему.
Цікаво, що Л. Ейлера належить твердження, яке до цих пір не доведено: "Будь-яке ціле число виду 8n = 3 є сумою квадрата і подвоєного простого числа". Сам Ейлер задовольнився, що це твердження вірне для всіх цілих чисел такого виду до 200. Після нього така емпірична робота була проведена для чисел до 1000. Доводить це гіпотезу Ейлера? Жодним чином. Тим не менш кожне підтвердження робить це припущення більш правдоподібним.
Метод математичної індукції.
Неповна індукція, як ми бачили, призводить часто до помилкових результатів. Метод повної індукції має лише обмежене застосування. Багато цікаві математичні твердження охоплюють нескінченне число окремих випадків, а провести перевірку для нескінченного числа випадків людина не може.
У багатьох випадках вихід з такого роду утруднень полягає у зверненні до особливого методу міркувань, званому методом математичної індукції. Докази цим методом спираються на наступну аксіому.
Принцип (аксіома) математичної індукції.
Твердження, залежне від натурального числа n , справедливо для будь-якого n , якщо виконані дві умови:
а) твердження справедливе при n = 1
б) при будь-якому натуральному значенні k з справедливості затвердження для n = k випливає його справедливість і для n = k +1 .
Наведемо приклади доказів методом математичної індукції.
Приклад 1. Довести, що за будь-яких n? N справедливо
Sn = 1 +3 +5 + ... + (2n-1) = n ^ 2
Рішення. а) S1 = 1 = 1 ^ 2, отже, твердження одно при n = 1.
б) Нехай k - будь-яке натуральне число і нехай твердження справедливе для n = k, тобто
Sk = 1 +3 +5 + ... + (2k-1) = k ^ 2
Доведемо, що тоді твердження справедливе і для наступного натурального числа n = k +1, тобто доведемо, що
Sk +1 = 1 +3 +5 + ... + (2k-1) + (2k +1) = (k +1) ^ 2
Справді,
Sk +1 = Sk +) 2k +1) = k ^ 2 +2 k +1 = (k +1) ^ 2.
Тим самим за принципом математичної індукції твердження доведено для будь-якого натурального значення n.
Прогресії.
1. арифметичній прогресії називається числова послідовність, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, складеному з одним і тим же числом. Це незмінне число називається різницею прогресії. Члени арифметичній прогресії позначають через a1, a2, ..., an, ..., різниця прогресії - через d.
Приклади.
1. Натуральний ряд чисел N = { 1, 2, 3, 4, 5, ....} є арифметична прогресія з різницею d = 1.
2. Послідовність чисел 10, 8, 6, 4, 2, 0, -2, -4, ... є арифметична прогресія з різницею d = -2/
Для завдання арифметичній прогресії досить задати її перший член a1 і її різниця d. Будь-який член арифметичної прогресії можна обчислити за формулою
an = a1 + d (n-1) (1)
Доведемо цю формулу методом математичної індукції.
а) При n = 1 отримаємо a1 = a1 + d (1-1) = a1. Отже формула вірна.
б) Нехай k - будь-яке натуральне число і нехай формула справедлива при n = k, тобто
ak = a1 + d (k-1).
Доведемо, що тоді формула вірна і для наступного натурального числа n = k +1, тобто доведемо, що
ak +1 = a1 + d (k).
За визначенням арифметичній прогресії маємо
ak +1 = ak + d.
Підставимо в цю рівність вираз для ak, яке, згідно з припущенням індукції, вважаємо вірним. Отримаємо
ak +1 = ak + d = a1 + d (k-1) + d = a1 + d (k).
Значить, формула (1) вірна для всіх n.
Задача 1. Курс повітряних ванн лікарі рекомендують починати з 15 хв в 1-й день, а за тим збільшувати час цієї процедури кожен наступний день на 10 хв. Скільки днів слід приймати повітряні ванни в зазначеному режимі, щоб досягти їх максимальної тривалості в 1 година 45 хв?
Рішення. Тривалість прийому повітряних ванн в кожен день являє собою арифметичну прогресію з першим членом a1 = 15 міні різницею d = 10хв. Питається, в який день тривалість досягає 1 година 45 хв, тобто 105 хв? Скористаємося формулою (1) загального члена арифметичної прогресії:
an = a1 + d (n-1) = 105.
Звідси отримаємо
15 +10 (n-1) = 105 або n = 10 (днів).
Основна властивість арифметичній прогресії.
Послідовність a1, a2, a3, ..., an, ... є арифметичною прогресією тоді і тільки тоді, коли кожен її член, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх з ним членів, тобто
Формули суми n перших членів арифметичної прогресії:
2. геометричній прогресії називається послідовність не рівних нулю чисел, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне і те ж число. Це постійне число називається знаменником прогресії. Члени геометричній прогресії позначають через b1, b2, b3, ..., bn, ... , Знаменник прогресії - через q.
Приклади.
1. Числа 5, 10, 20, 40, ... утворюють геометричну прогресію зі знаменником q = 2 (зростаючу).
2. Числа 1; 0,1; 0,01; 0,001; ... утворюють геометричну прогресію зі знаменником q = 0,1 (убуваючу).
3. Числа 3, -6, 12, -24, ... утворюють геометричну прогресію зі знаменником q = -2 (відзначимо, що знаменник мо...
