Зміст.
Введення.
Ділення відрізка в даному відношенні.
Теорема про перетин медіан трикутника в одній точці.
Теорема про висотах довільного трикутника.
Пряма Ейлера.
Медіани тетраедра.
Висоти тетраедра.
Пряма Ейлера тетраедра.
Використані джерела інформації.
Вступ.
Властивості трикутника були добре вивчені ще древніми греками.
У знаменитих "Початках" Евкліда доводиться, що центром кола, описаного навколо трикутника, є точка перетину серединних перпендикулярів до його сторонам.
Архімед, визначаючи положення центра ваги однорідної трикутної пластинки, встановив, що він лежить на кожній з трьох медіан. Точку перетину медіан трикутника називають центром ваги або центроїдів трикутника.
Пізніше було доведено, що три висоти трикутника також перетинаються в одній точці, яка називається його ортоцентр.
Закономірність у розташуванні цих трьох чудових точок трикутника - центру O описаного кола, центроїда G , ортоцентра H - вперше виявив знаменитий математик Леонард Ейлер (1707-1783).
Розглянемо спочатку один окремий випадок: прямокутний трикутник ABC (рис.1). Середина O гіпотенузи AB є центром описаної біля нього окружності. Центроїд G ділить медіану CO у відношенні 1:2, рахуючи від вершини C. Катети AC і BC є висотами трикутника, тому вершина C прямого кута збігається з ортоцентр H трикутника. Таким чином, точки O, G, H лежать на одній прямій, причому OH = 3OG. Користуючись методом координат, Ейлер довів, що така ж зв'язок існує між трьома зазначеними точками будь-якого трикутника. Ми доведемо цей факт за допомогою векторів.
Ділення відрізка в даному відношенні.
Нехай A, B, O - дані точки площини, і відомо, що
точка G ділить відрізок AB у відношенні k: ------- = k (рис.2).
Виразимо вектор OG через вектори OA і OB. Для цього підставимо в рівність AG = k * GB вираження всіх векторів через OG, OA і OB: OG-OA = k (OB-OG). Вирішуючи це рівняння щодо OG , отримаємо:
OG = -------------. (1)
Наприклад, якщо G - середина відрізка AB , то k = 1 і OG = - (OA + OB).
Теорема про перетин медіан трикутника в одній точці.
Тут ми попутно отримаємо одне векторне рівність, яке знадобиться нам надалі.
Теорема 1. Медіани трикутника АВС перетинаються в одній точці G і діляться нею у відношенні 2:1, рахуючи від вершини, причому
3PG = PA + PB + PC, (2)
де P - будь-яка точка площини або простору.
Доказ. Візьмемо на медіані CD трикутника ABC точку G, обумовлену співвідношенням | CG |: | GD | = 2:1 (рис. 3).
Згідно формулі (1),
PD = - (PA + PB),
звідки
PG = - (PA + PB + PC).
Обчислюючи вектор PG ' з кінцем в точці G', делящей будь-яку з двох інших медіан трикутника у відношенні 2:1 (рахуючи від вершини), ми отримаємо те ж саме вираз:
PG '= - (PA + PB + PC),
Тому PG '= PG, і точка G' збігається з точкою G. Отже, всі три медіани трикутника перетинаються в одній точці G, обумовленої співвідношенням (2).
Теорема про висотах довільного трикутника.
Теорема 2. Висоти трикутника АВС перетинаються в одній точці Н, причому
OH = OA + OB + OC, (3)
де О - центр кола описаного навколо трикутника.
Доказ. Нехай АВС - трикутник, відмінний від прямокутного (рис.4).
Знайдемо суму векторів OA і OB. Для цього побудуємо точку M, симетричну Про щодо сторони AB, тоді OM = OA + OB. Потім побудуємо точку Н, для якої
OH = OM + OC = OA + OB + OC,
і доведемо, що точка H і є ортоцентр трикутника АВС .
Дійсно, з побудови прямі CH і OM паралельні, OM - серединний перпендикуляр до відрізка АВ, отже, пряма СН також перпендикулярна до прямої AB, і точка H лежить на висоті трикутника ABC, проведеної з вершини C.
Якщо повторити побудова, починаючи з векторів OA і OC, то вийде та ж точка H, але ті ж міркування показують, що тепер точка H лежить на висоті трикутника, проведеної з вершини B. Аналогічно одержимо, що точка H лежить на висоті, проведеної з вершини A. Отже, висоти трикутника ABC перетинаються в точці H, обумовленої співвідношенням (3).
Легко перевірити, що теорема 2 справедлива і для прямокутного трикутника.
Пряма Ейлера.
З доведених теорем 1 і 2 витікає цікавить нас властивість чудових точок трикутника.
Теорема 3. Центр Про описаної окружності, центроїд G і ​​ортоцентр H будь-якого трикутника лежать на одній прямій, причому точка G лежить між точками О і Н і OG: GH = 1:2.
Доказ. По теоремі 1
3OG = OA + OB + OC.
Порівнюючи це рівність з рівністю (3), отримаємо
OH = 3OG.
Отже, вектори OH і OG, мають загальне початок O, розташовані на одній прямий і | OG |: | GH | = 1: 2.
Пряма, на якій лежать точки O, G і H, називається прямий Ейлера.
У стереометрії найпростіший багатогранник - тетраедр відіграє ту ж роль, що і трикутник в планіметрії. Властивості трикутника і тетраедра багато в чому схожі. Спробуємо поширити властивість чудових точок трикутника на тетраедр.
Сфера, описана близько тетраедра.
Відомо, що близько всякого тетраедра можна описати сферу, її центр O лежить на перпендикулярах до граней тетраедра, відновлених в центрах окружностей, описаних близько граней.
Медіани тетраедра.
Відрізок, який сполучає вершину тетраедра з центроїдів протилежній грані, називається медіаною тетраедра. Властивості медіан тетраедра аналогічні властивостям медіан трикутника.
Теорема 4. Чотири медіани тетраедра ABCD перетинаються в одній точці G, яка ділить кожну з них у відношенні 3:1, рахуючи від вершини тетраедра , причому
4PG = PA + PB + PC + PD, (4)
де P - будь-яка точка простору.
Доказ. Візьмемо на медіані DG ' тетраедра ABCD точку G, обумовлену співвідношенням DG: GG' = 3: 1 (рис 5). Відповідно до формули (1),
PG = ---------------.
Враховуючи, що центроид G ' трикутника ABC задовольняє співвідношенню 3PG = PA + PB + PC, отримаємо
PG = - (PA + PB + PC + PD).
Обчислюючи вектор PG'' з кінцем в точці G'' , делящей яку з трьох інших медіан тетраедра щодо 3: 1 (рахуючи від вершини), отримаємо те ж саме вираз. А це означає, що всі чотири медіани тетраедра перетинаються в одній точці G, задовольняє співвідношенню (4). Точка G, називається центром ваги (або центроїдів) тетраедра.
Висоти тетраедра.
Висоти трикутника завжди перетинаються в одній точці. За аналогією можна припустити, що висоти будь-якого тетраедра також перетинаються в одній точці. Однак це не так.
Для прикладу розглянемо тетраедр ABCD з прямим двогранні кутом при ребрі AB, в яком...