Російська гімназія
????????
на тему:
???????
????????
?????? 10 "?" ??????
?????????? ??????
????????????
??????? ??????????
????? ?.?.
Нижній Новгород
1997
Функція та її властивості
Функція- залежність змінної у від змінної x, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у .
Змінна х- незалежна змінна або аргумент.
Змінна у- залежна змінна
Значення функції- значення у , відповідне заданому значенню х .
Область визначення функції- всі значення, які приймає незалежна змінна.
Область значень функції (безліч значень) - всі значення, які приймає функція.
Функція є парною- якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність f (x) = f (-x)
Функція є непарною- якщо для будь-якого х з області визначення функції виконується рівність f (-x) =-f (x)
Зростаюча функція- якщо для будь-яких х1 і х2, таких, що х1 <х2 , виконується нерівність f (х1 ) Спадна функція- якщо для будь-яких х1 і х2, таких, що х1 <х2 , виконується нерівність f (х1 )> f (х2)
Способи завдання функції
Щоб задати функцію, потрібно вказати спосіб, за допомогою якого для кожного значення аргументу можна знайти відповідне значення функції. Найбільш вживаним є спосіб завдання функції за допомогою формули у = f (x) , де f (x) - деякий вираз зі змінною х . У такому випадку говорять, що функція задана формулою або що функція задана аналітично.
На практиці часто використовується табличний спосіб завдання функції. При цьому способі наводиться таблиця, яка вказує значення функції для наявних в таблиці значень аргументу. Прикладами табличного завдання функції є таблиця квадратів, таблиця кубів.
Види функцій та їх властивості
Постійна функція- функція, задана формулою у = b, де b- деяке число. Графіком постійної функції у = b є пряма, паралельна осі абсцис і проходить через точку (0; b) на осі ординат
2) Пряма пропорційність- функція, задана формулою у = kx, де до № 0. Число k називається коефіцієнтом пропорційності .
Cвойства функції y = kx :
Область визначення функції-множина всіх дійсних чисел
y = kx - непарна функція
При k> 0 функція зростає, а при k <0 убуває на всій числовій прямій
3) Лінійна функція- функція, яка задана формулою y = kx + b , де k і b- дійсні числа. Якщо в Зокрема, k = 0 , то отримуємо постійну функцію y = b ; якщо b = 0 , то отримуємо пряму пропорційність y = kx .
Властивості функції y = kx + b :
Область визначення-множина всіх дійсних чисел
Функція y = kx + b загального виду, тобто ні парна, ні непарна.
При k> 0 функція зростає, а при k <0 убуває на всій числовій прямій
Графіком функції є пряма .
4) Зворотній пропорційність- функція, задана формулою y = k/х, де k № 0 Число k називають коефіцієнтом зворотної пропорційності.
Властивості функції
y = k/x:
Область визначення-множина всіх дійсних чисел крім нуля
y = k/x- непарна функція
Якщо k> 0, то функція убуває на проміжку (0; + Г) і на проміжку (-Г; 0). Якщо k <0, то функція зростає на проміжку (-Г; 0) і на проміжку (0; + Г).
Графіком функції є гіпербола .
5) Функція y = x2
Властивості функції y = x2:
Область визначення-вся числова пряма
y = x2 - парна функція
На проміжку [0; + Г) функція зростає
На проміжку (-Г; 0] функція убуває
Графіком функції є парабола .
6) Функція y = x3
Властивості функції y = x3:
Область визначення-вся числова пряма
y = x3 - непарна функція
Функція зростає на всій числовій прямій
Графіком функції є кубічна парабола
7) Степенева функція з натуральним показником- функція, задана формулою y = xn , де n - натуральне число. При n = 1 отримуємо функцію y = x, її властивості розглянуті в п.2. При n = 2, 3 отримуємо функції y = x2; y = x3. Їх властивості розглянуті вище.
Нехай n-довільне парне число, більше двох: 4,6,8 ... У цьому випадку функція y = xn має ті ж властивості, що й функція y = x2. Графік функції нагадує параболу y = x2, тільки гілки графіка при | х |> 1 тим крутіше йдуть вгору, чим більше n, а при | х | <1 тем "тісніше туляться" до осі Х, чим більше n.
Нехай n-довільне непарне число, більше трьох: 5,7,9 ... У цьому випадку функція y = xn має ті ж властивості, що й функція y = x3. Графік функції нагадує кубічну параболу.
8) Степенева функція з цілим від'ємним показником- функція, задана формулою y = xn, де n - натуральне число . При n = 1 отримуємо y = 1/х, властивості цієї функції розглянуті в п.4.
Нехай n-непарне число, більше одиниці: 3,5,7 ... У цьому випадку функція y = xn володіє в основному тими ж властивостями, що і функція y = 1/х.
Нехай n-парне число, наприклад n = 2.
Властивості функції y = x-2 :
Функція визначена при всіх x № 0
y = x-2 - парна функція
Функція убуває на (0; + Г) і зростає на (-Г; 0).
Тими ж властивостями володіють будь-які функції при парному n, більшому двох.
9) Функція y = Цх
Властивості функції y = Цх:
Область визначення - промінь [0; + Г).
Функція y = Цх - загального вигляду
Функція зростає на промені [0; + Г).
10) Функція y = 3Цх
Властивості функції y = 3Цх:
Область визначення-вся числова пряма
Функція y = 3Цх непарна.
Функція зростає на всій числовій прямій.
11) Функція y = nЦх
При парному n функція має ті ж властивості, що й функція y = Цх . При непарному n функція y = nЦх має ті ж властивості, що й функція y = 3Цх.
12) Степенева функція з позитивним дробовим показником- функція, задана формулою y = xr , де r - позитивна несократімой дробу.
Властивості функції y = xr:
Область визначення-промінь [0; + Г).
Функція загального вигляду
Функція зростає на [0; + Г).
малюнку зображений графік функції y = x5/2. Він укладений між графіками функцій y = x2 і y = x3, заданих на проміжку [0; + Г). Подібний вид має будь графік функції виду y = xr , де r> 1.
На малюнку зображений графік функції y = x2/3. Подібний вигляд має графік будь-якої статечної функції y = xr , де 0
13) Степенева функція з негативним дробовим показником- функція, задана формулою y = xr , де r - позитивна несократімой дробу.
Властивості функції y = xr:
Обл. визначення-проміжок (0; + Г)
Функція загального вигляду
Функція убуває на (0; + Г)
14) Зворотній функція
Якщо функція y = f (x) така, що для будь-якого її значення yo рівняння f (x) = yo має відносно х єдиний корінь, то говорять, що функція f оборотна.
Якщо функція y = f (x) визначена і зростає (убуває) на проміжку Х і областю її значень є проміжок Y, то у неї існує обернена функція, причому зворотна функція визначена і зростає (убуває) на Y.
Таким чином, щоб побудувати графік функції, оберненої до функції y = f (x), треба графік функції y = f (x) піддати перетворенню симетрії відносно прямої y = x.
15)
Складна функція- функція, аргументом якої є інша будь-яка функція.
Візьмемо, наприклад, функцію y = x +4. Підставимо в аргумент функцію y = x +2. Виходить: y (x +2) = x +2 +4 = x +6. Це і буде складною функцією.
