Курсова робота з курсу В«Основи викладання математикиВ»
Кіровоградський державний педагогічний університет ім. Винниченка
Кіровоград
2003
Введення
Учні, приступаючи до систематичного вивчення курсу геометрії, вже володіють деякими запасом геометричних знань. Знання ці переважно почерпнуто або безпосередньо з досвіду чи сприйняті ними інтуїтивно, шляхом зіставлення ряду аналогічних або вже знайомих їм геометричних фактів.
Викладач повинен зуміти: 1) належним чином використовувати накопичені учнями знання для розгортання перед ними шкільного логічного курсу геометрії, в якому логічне доказ висувається на перше місце, де інтуїція відіграє роль розвідки, в досвід відходить на задній план, 2) привчити учнів знаходити нові геометричні факти, 3) підкріплювати при розгляді окремих питань теоретичні висновки ілюстрацією їх практичної цінності і тим самим знаходити тісну ув'язку теорії з практикою, 4) використовувати явища навколишнього Насправді, досвід та інтуїцію як стимул для постановки питання, аж ніяк не замінюючи логічне доказ досвідом, 5) привчати учнів вбачати взаємозалежність між окремими геометричними фактами, 6) розвинути в учнів спостережливість, строгість і послідовність у судженнях, любов до дослідження, 7) навчити учнів користуватися підручником, вести чітку конспективную запис, виконувати охайно і точно креслення і бути завжди готовими до відповіді - ось відповідальна і складне завдання викладача, починаючи з перших же занять з геометрії.
У своїй роботі викладач завжди повинен пам'ятати, що учні повинні навчитися доводити, але аж ніяк не заучувати незрозуміле доказ-ство. Необхідно вести роботу так, щоб учні вміли чітко відрізняти при розборі теореми, то що дано, і те, що потрібно довести. Всякий доказ вимагає від учнів зосередженості уваги і напруження думки, тому не можна перевантажувати урок розбором і доказом більш ніж двох-трьох теорем.
Юнг в своїй книги В«Як викладати геометріюВ» писав: В«якщо геометрію вивчати так, щоб учень сам робив відкриття, то він відчує її життя В».
Розділ 1. Методика викладання теми В«Паралельні прямі. Завдання, пов'язані з паралельними прямими В»
1.1. Паралельні прямі
До поняття про паралельних прямих слід підвести учнів таким чином. Учням пропонується провести довільну пряму АВ, відзначити на ній дві довколишні точки М і N і провести через ці точки до прямої АВ перпендикуляри ММ1 і NN1. Ставиться питання, перетнуться ці перпендикуляри, якщо їх продовжити в ту або іншу сторону від прямої АВ.
Якщо на задане питання послідує відповідь, що прямі не перетнуться, а це учні відчувають інтуїтивно, або, навпаки, буде дана відповідь, що прямі перетнуться, необхідно вказати учням, що кожне з зроблених ними тверджень має бути доведено, тобто обгрунтовано посиланням на відомі їм аксіоми і теореми.
Доказ: маємо ММ1 перпендикулярно АВ, NN1 перпендикулярно АВ. Доведемо, що перпендикуляри ММ1 і NN1, проведені до однієї і тієї ж прямої АВ, не можуть перетнутися. Припустимо гидке, а саме - що перпендикуляри ММ1 і NN1 перетнуться в деякій точці О, тоді виходить трикутник МОN, в якому сума двох внутрішніх кутів, Гђ1 і Гђ2, дорівнює двом прямим: Гђ1 + Гђ2 = 180, що неможливо, так як згідно сума двох кутів трикутника завжди менше 180 градусів. Звідси випливає, що прийняте допущення, що перпендикуляри ММ1 і NN1 при своєму продовженні перетнуться в деякій точці О, невірно. Отже, два перпендикуляра до однієї і тієї ж прямої не перетинаються, скільки б їх ні продовжувати.
Після такого розбору учням вказується, що на площині можна розташувати дві прямі так, що вони ніколи не перетнуться, і дається визначення: прямі, які розташовані в одній площині і не перетинаються, називаються паралельними.
Повертаючись потім у отриманому вище висновку про взаємне положення двох перпендикулярів до однієї і тієї ж прямої, викладач відзначає, що цей висновок можна формулювати у вигляді теореми: дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні.
Вводиться знак для позначення паралельності двох прямих: А ççCD.
Викладач повинен підкреслити, що необхідною умовою для паралельності двох прямих є те, що прямі повинні лежати в одній площині. Це позначення повинне бути виявлено у визначенні, тому визначення паралельних прямих без слів В«Які розташовані в одній площиніВ» є неповним.
Слід використовувати модель куба для показу паралельних і непаралельних прямих. Так, ребра куба АВ і А1D1 не перетинаються: вони лежать у різних площинах; пояснюється, що такі прямі, на відміну від прямих паралельних, називаються мимобіжними. ребра ж куба АВ і А1В1, АА1 і ВВ1, ВВ1 і СС1 також не перетинаються; проте вони попарно розташовані на одній площині, вони паралельні.
Теорема про двох перпендикулярах на площині до однієї і тієї ж прямої є одним з ознак паралельності прямих. Необхідно показати учням її практичне додаток, для чого слід вирішити завдання:
На площині дано дві точки А і В. Провести через ці точки дві паралельні прямі.
Побудова. Через точки А і В проводиться пряма MN, і в цих же точках будуються до прямий MN перпендикуляри АС і BD (АС Г§Г§BD). Продовжуючи обидва перпендикуляра по іншу сторону від прямої MN маємо: СС1 çç DD1. Це одне з численних рішень; через точки А і В можна провести безліч пар паралельних прямих.
Дійсно, проводимо на площині ряд довільних прямих і до них через точки А і В перпендикуляри. Отримуємо, що в кожній з точок А і В пучок прямих. При цьому кожної прямий пучка з центром в точці А відповідає певна пряма, їй паралельна, що належить пучку з центром в точці В.
Після цього слід вирішити завдання на побудову. Через точку А поза даною прямою провести пряму, паралельну даній.
Запис задачі на дошці: Дана пряма MN і поза її точка А. Провести через точку А пряму, паралельну даної.
Рішення. З даної точки А проводять до прямий MN за допомогою лінійки і креслярського трикутника перпендикуляр АР. Потім проводять через точку А до прямої АР перпендикуляр АК також за допомогою лінійки і креслярського трикутника. Пряма АК паралельна MN на підставі теореми: дві прямі, перпендикулярні до третьої, паралельні.
Необхідно запропонувати учням зробити кілька побудов, різно розташувавши пряму MN щодо краю дошки або аркуша паперу.
Коли побудова виконано, викладач повинен вказати, що необхідно ще дослідити, чи немає крім побудованої прямої ще інший прямий, яка також проходить через точку А і паралельна даній прямій MN, і що якщо такої немає, то проведена пряма є єдиною прямою, що проходить через точку А паралельно прямий MN.
Учням роз'яснюється, що довести це положення не можна за допомогою відомих нам аксіом і теорем і що віковий досвід людства, набутий рішенням практичних завдань, привів ще древніх геометрів до висновку, що через дану точку поза прямий на площині можна провести тільки одну пряму, паралельну даній прямій.
Останнє судження є аксіома про паралельні.
Не зайве вказати учням, що, починаючи з найдавніших часів, кращими математиками все ж робилися спроби довести аксіому про паралельних, тобто розглядати її як теорему, яка, як вони припускали, може бути доведена за допомогою вже прийнятих аксіом. Однак їх спроби були і залишилися безуспішними. В даний час міркуваннями, що виходять за межі елементарного курсу геометрії, встановлено, що аксіому про паралельних не можна довести без внесення додаткових аксіом до числа тих, які встановлені Евклідом.
На аксіомі про паралельних і наслідках з неї слід загострити увагу учнів.
Учні повинні вміти формулювати словами запис: на площині А çç CD і CDççMN, вміти зробити до неї потрібний креслення і після відповідного докази записати висновок, який випливає з взаємного розташування прямих АВ, CD і MN. А саме, що АВççMN. До читання такого роду записів і вченню по записи...
