Міністерство загальної та професійної освіти Р.Ф.
Іркутський державний технічний університет.
Кафедра вищої математики.
Реферат.
Застосування подвійних інтегралів до задач механіки та геометрії.
Виконала: студентка
групи ПЕ-97-1
Мелкоступова С.С.
Перевірив викладач
кафедри вищої математики
Сєдих Є.І.
Іркутськ 1998.
Зміст.
1.Об 'ем циліндричного тіла. Подвійний інтеграл.
2. Обчислення подвійних інтегралів.
a) приклади.
3.Пріложенія подвійних інтегралів до задач механіки.
а) маса плоскої пластинки змінної щільності.
б) статичні моменти і центр ваги пластинки.
в) моменти інерції пластинки.
4.Вичісленіе площ і обсягів за допомогою подвійних інтегралів.
а) Обсяг.
б) Обчислення площі плоскої області.
5.Вичісленіе площі поверхні.
а) Приклади.
1.Об 'ем циліндричного тіла. Подвійний інтеграл.
циліндричним тілом називається тіло, обмежене площиною Oxy, поверхнею, з якою будь-яка пряма, паралельна осі Oz, перетинається не більш ніж в одній точці, і циліндричною поверхнею, твірна якої паралельна осі Oz.
Область D, висікали в площині Oxy циліндричною поверхнею, називається підставою циліндричного тіла (див. рис.1). В окремих випадках бічна циліндрична поверхня може бути відсутня; прикладом тому служить тіло, обмежене площиною Oxy і верхньої півсферою.
Рис. 1
Зазвичай тіло можна скласти з деякого числа циліндричних тіл і визначити шуканий об'єкт як суму обсягів циліндричних тіл, складових це тіло.
Насамперед нагадаємо два принципи, з яких ми виходимо при визначенні обсягу тіла:
якщо розбити тіло на частини, то його обсяг буде дорівнює сумі обсягів усіх частин; обсяг прямого циліндра, тобто циліндричного тіла, обмеженого площиною, паралельній площині Oxy, дорівнює площі підстави, помноженої на висоту тіла.
Нехай є рівняння поверхні, що обмежує циліндричне тіло. Будемо вважати функцію безперервної в області D і спочатку припустимо, що поверхня повністю лежить над площиною Oxy, тобто що всюди в області D.
Рис. 2
Позначимо шуканий об'єм циліндричного тіла через V, Розіб'ємо підставу циліндричного тіла - область D - на деяке число n областей довільної форми; будемо називати їх частковими областями. Пронумерувавши часткові області у якомусь порядку, позначимо їх через а їх площі - через. Через кордон кожної часткової області проведемо циліндричну поверхню з утворюючої, паралельної осі Oz. Ці циліндричні поверхні розріжуть поверхню на n шматків, відповідних n частковим областям. Таким чином, циліндричне тіло виявиться розбитим на n часткових циліндричних тіл (см.ріс.2). Виберемо в кожній часткової області довільну точку і замінимо відповідне часткове циліндричне тіло прямим циліндром з тим же підставою і висотою рівною. В результаті отримаємо n-ступеневу тіло, обсяг якого дорівнює
Беручи об'єм V даного циліндричного тіла приблизно рівним обсягом побудованого n-ступінчатого тіла, будемо вважати, що Vn тим точніше виражає V, чим більше n і чим менше кожна з часткових областей. Переходячи до межі при ми будемо вимагати, щоб не тільки площа кожної часткової області прагнула до нуля, але щоб прагнули до нуля всі її розміри. Якщо назвати діаметром області найбільша відстань між точками її кордони (Наприклад, діаметр прямокутника дорівнює його діагоналі, діаметр еліпса-його великої осі. Для кола наведене визначення діаметра рівносильно звичайному.), То висловлене вимога буде означати, що кожен з діаметрів часткових областей повинен прагнути до нуля; при цьому самі області будуть стягуватися в точку (Якщо відомо тільки, що площа області прагне до нуля, то ця область може і не стягуватися в точку. Наприклад, площа прямокутника з постійним основою і висотою, що прагне до нуля, прямує до нуля , а прямокутник стягується до свого основи, тобто до відрізка).
У відповідності зі сказаним ми приймаємо шуканий об'єм V рівним межі, до якого прагне Vn при прагненні до нуля найбільшого діаметра часткових областей (при цьому):
До відшукання межі подібних сум для функцій двох змінних приводять найрізноманітніші завдання, а не тільки завдання про обсяг.
Розглянемо це питання в загальному вигляді. Нехай - будь-яка функція двох змінних (не обов'язково позитивна), безперервна в деякій області D, обмеженої замкнутою лінією. Розіб'ємо область D на часткові, як зазначено вище, виберемо в кожній часткової області по довільній точці і складемо суму
(*)
де - значення функції в точці; та, - площа часткової області.
Сума (*) називається n-й інтегральною сумою для функції в області D, що відповідає даному розбиттю цій області на n часткових областей.
Визначення. Подвійним інтегралом від функції по області D називається межа, до якого прагне n-я інтегральна сума (*) при прагненні до нуля найбільшого діаметра часткових областей.
Записується це так:
Читається: "подвійний інтеграл від на по області D". Вираз, що показує вид сумміруемих доданків, називається подинтегрального вирази; функція називається підінтегральна функція, - елементом площі, область D - областю інтегрування, нарешті, змінні x і у називаються змінними інтегрування.
Таким чином, можна сказати, що обсяг циліндричного тіла, обмеженого площиною Oxy, поверхнею і циліндричною поверхнею з твірною, паралельною осі Oz, виражається подвійним інтегралом від функції, узятим по області, що є підставою циліндричного тіла:
.
Аналогічно теоремі існування звичайного інтеграла має місце наступна теорема.
Теорема існування подвійного інтеграла.
Якщо функція неперервна в області D, обмеженої замкнутою лінією, то її n-я інтегральна сума прагне до межі при прагненні до нуля найбільшого діаметра часткових областей. Ця межа, тобто подвійний інтеграл, не залежить від способу розбиття області D на часткові області і від вибору в них точок Pi
.
Подвійний інтеграл, зрозуміло, являє собою число, залежне тільки від підінтегральна функція і області інтегрування і зовсім не залежне від позначень змінних інтегрування, так що, наприклад,
.
Далі ми переконаємося а тому, що обчислення подвійного інтеграла може бути вироблено за допомогою двох звичайних інтегрування.
2.Вичісленіе подвійних інтегралів.
При обчисленні подвійного інтеграла елемент площі нам зручно представити в іншому вигляді. Будемо розбивати область інтегрування D в площині Oxy на часткові області за допомогою двох систем координатних ліній: x = const, y = const. Цими лініями служать прямі, паралельні відповідно осі Oy і осі Ox, а частковими областями - прямокутники зі сторонами, паралельними осям координат. Ясно, що площа кожної часткової області буде дорівнює добутку відповідних і. Тому елемент площі ми запишемо у вигляді тобто елемент площі в декартових координатах є твором диференціалів незалежних змінних. Ми маємо
. (*)
При обчисленні подвійного інтеграла (*) ми будемо спиратися на той факт, що він виражає об'єм V циліндричного тіла з основою D, обмеженого поверхнею. Нагадаємо, що ми вже займалися завданням про об'єм тіла, коли розглядали застосування визначеного інтеграла до задач геометрії і отри...
