МІСЬКИЙ КЛАСИЧНИЙ ЛІЦЕЙ
РЕФЕРАТ
Велика теорема Ферма
Підготував:
Петров А. А.,
9Б клас (фіз-мат)
р. Кемерово - 1998
Зміст
Біографія Ферма
Історія Великої теореми Ферма
Доказ леми 1 (Жермен)
Доказ леми 2 (допоміжною)
Доказ теореми Ферма для показника 4
Примітки до доказів
Біографія Ферма
П'єр Ферма жив з 1601 по 1665 рік. Був він сином одного з численних торговців у Франції, здобув юридичну освіту і працював спочатку адвокатом, а згодом став навіть радником парламенту. Службові його обов'язки, далекі за змістом від математичних наук, залишали йому досить дозвілля, який
Ферма і присвячував заняттям математичними дослідженнями. Завдяки своїм природним здібностям і наполегливості, необхідної при роботі над питаннями математики,
Ферма домігся великих результатів в самих різних її областях. Але не тільки математикою був він сильний: в області фізики, наприклад, їм сформульований основний принцип геометричної оптики, відомий під назвою В«Принципу ФермаВ».
Ферма своїми роботами сприяв розвитку нових галузей в математиці: математичного аналізу, аналітичної геометрії (одночасно з Декартом ), теорії ймовірностей.
Головним внеском Ферма в алгебру з'явилася розвинена ним теорія з'єднань або, як її ще називають, комбінаторика. Окремі завдання теорії з'єднань були вирішені вже в давнину греками і індійцями, але наукова постановка цих питань виникла лише в XVII столітті в роботах Ферма і його сучасника, знаменитого французького філософа, математика і фізика Блеза Паскаля . Виходячи з основ комбінаторики, ці два учених і поклали початок новій математичній науці, званою теорією вірогідності, що отримала в XVIII столітті значну теоретичну базу, при цьому вона стала отримувати все більше поширення і використовуватися в різних галузях науки і практичної діяльності. Перш за все, вона була застосовна до питань страхування, а надалі область її застосування все розширювалася і розширювалася.
Багато уваги Ферма також приділяв і питанню про магічні квадрати. Ці квадрати спочатку сталі відомі індійцям і арабам, і вже тільки в епоху середніх століть вони з'явилися в Західній Європі. Різні математики зацікавилися дослідженнями їх властивостей, це сприяло розвитку деяких математичних теорій. Ще Мезіріак знайшов способи складання магічних квадратів з непарним числом кліток, а вже Ферма розповсюдив ідею складання магічних квадратів на простір, тобто поставило питання про складання кубів, що володіють властивостями, аналогічними властивостям магічних квадратів.
Хоча Ферма вніс великий внесок у розвиток теорії алгебраїчних чисел, докази його доводів майже ні в одному випадку знайдені не були (доказ Великої теореми Ферма для n = 4 - виняток, т. к. в рукописах воно було). Деякі висновки, зроблені Ферма , були і зовсім помилковими, але теореми, повні докази яких, як стверджував Ферма , у нього малися, всі згодом були доведені (основний внесок в доказ яких вніс Ейлер ). Але було і одне виключення - приємне виключення - це Велика теорема Ферма:
Історія Великої теореми Ферма
Великою популярністю у всьому світі користується В«Велика теорема ФермаВ» (вона ж - В«ВеликаВ» або В«ОстанняВ»).
Великою теоремою Ферма називається той висновок, який було зроблено ним при читанні виданої Мезіріак В«АрифметикиВ» Діофанта . На полях цієї книги, проти того місця, де йде мова про вирішення рівняння виду x2 + y2 = z2 , Ферма написав: В«Тим часом, абсолютно неможливо розкласти повний куб на суму кубів, четвертую ступінь - на суму четвертих ступенів, взагалі яку-небудь ступінь - на суму ступенів з тим же показником. Я знайшов воістину дивовижне доказ цього припущення, але тут замало місця, щоб його помістити В». Це положення Ферма тепер формулюється як теорема в наступному вигляді: «гвняння xn + yn = zn не може бути вирішено в раціональних числах відносно x , < b> y і z при цілих значеннях показника n, великих 2 В»(загальновідомо, що при n = 2 такі числа існують, наприклад, 3, 4, 5 - числа, які, якщо є довжинами сторін, утворюють знаменитий трикутник Піфагора ). Справедливість цієї теореми підтверджується для багатьох окремих випадків (при цьому ще не знайдено жодного спростування), проте до цих пір вона не доведена в загальному вигляді, хоча їй цікавилися і її намагалися довести багато крупних математики (в В«Історії теорії чиселВ» Діксона прореферіровать більше трьохсот робіт на цю тему). У 1907 році в місті Дармштадті в Німеччині помер математик Вольфскель , який заповідав 100000 марок тому, хто дасть повне доведення теореми. Негайно сотні і тисячі людей, рухомих одним лише прагненням до наживи, почали бомбардувати наукові суспільства і журнали своїми рукописами, нібито що містять доведення теореми Ферма. Тільки в Геттінгенського математичне товариство за перші три роки після оголошення заповіту Вольфскеля прийшло більше тисячі В«рішеньВ». Але премія ця до цих пір нікому не видана за відсутністю справжнього доведення Великої теореми Ферма.
Елементарного докази Великої теореми Ферма немає ні для одного показника n № 4 .
Випадок, коли n = 3 , був доведений Ейлером ще в 1768 році. І той зажадав ще багато років, щоб теорія, якою необгрунтовано користувався Ейлер при своєму доказі, була доведена Гауссом .
Доказ теореми Ферма для випадку, коли n = 5 , запропонували в 1825 році майже одночасно Лежен Дирихле і Лежандр . Своє доказ Діріхле опублікував у 1828 році, але воно було дуже складним, і в 1912 році його спростив Племель .
Для наступного простого показника n = 7 теорема Ферма була доведена лише в 1839 році Ламі . Доказ Ламі було майже відразу ж вдосконалено Лебегом .
У 1847 році Ламі оголосив, що йому вдалося знайти доведення теореми Ферма для всіх простих показників n и 3 . Метод Ламі являв собою вельми далеке розвиток ідей Ейлера і грунтувався на арифметичних властивостях чисел. Однак відразу ж Лиувилль виявив в міркуваннях Ламі серйозна прогалина, ніж спростував цей доказ. Ламі був змушений визнати свою помилку.
На ЕОМ, користуючись ідеями Куммера і Вандівера довели справедливість теореми Ферма для всіх простих показників n <100000.
Доказ леми 1 (Жермен)
Якщо твір два взаємно простих натуральних чисел є
n -ой ступенем, то кожен із співмножників також буде
n -ой ступенем:
< p>
ab = cn; НОД (a; b) = 1; a, b О N
Довести
:
a = xn; b = yn
Доказ :
Якщо розкласти cn на прості множники, то: cn = d1 * ... * d1 * d2 * ... * d2 * ... * dm * ... * dm , де кожного множника по < b> n. Якщо ж розкласти на прості множники числа a і b , то якісь з чисел d1 ... dm підуть до a , якісь - до b, причому однакові піти і туди, і туди не можуть в силу того, що НОД (a; b) = 1 , тобто a є твір n -х ступенів якихось простих чисел, і b також -...
