Лобачевський по суті бере за відправний пункт все те, що Евклід довів без допомоги 5-го постулату. Всі ці припущення є спільними як для геометрії Евкліда, так і для геометрії Лобачевського.
Таким чином, всі пропозиції абсолютної геометрії зберігають свою силу і в геометрії Лобачевського. Абсолютна геометрія є загальна частина і загальний фундамент евклідової геометрії та геометрії Лобачевського.
У першому випадку ми отримаємо геометрію Евкліда, у другому випадку -
Геометрію Лобачевського. Звідси ясно, що все подібне в геометрії Евкліда і Лобачевського має свої підстави в абсолютній Геометрії, а все те, що різна у них, корениться у відмінності аксіом паралельності.
Зазначимо ряд найважливіших планіметричних теорем, що відносяться до абсолютної геометрії.
Кожен відрізок і кожен кут можна єдиним чином розділити навпіл. Через кожну точку можна провести єдиний перпендикуляр до цієї прямої. Сума двох суміжних кутів дорівнює 2d. Усі прямі кути рівні між собою. Вертикальні кути рівні. У рівнобедреному трикутнику бісектриса кута при вершині є медіаною і висотою, кути при підставі рівні. Перпендикуляр коротше похилій. Відомі теореми про порівняння перпендикулярів, похилих і їх проекцій. Зовнішній кут трикутника більше внутрішнього кута, з ним не суміжного. У всякому трикутнику не може бути більше одного прямого або тупого кута. У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, і назад. У прямокутному трикутнику гіпотенуза більше катета. Сума двох сторін трикутника більше третьою. Три ознаки рівності трикутників. Якщо при перетині двох прямих третім відповідно кути рівні, або внутрішні накркст лежачі кути рівні, або сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2d, то дані прямі не перетинаються. Два перпендикуляра до третьої прямий не перетинаються. Через точку, що лежить поза прямою, в площині, ними обумовленої, проходить принаймні одна пряма, не яка перетинає даної. Сума кутів трикутника не більше 2d (11-я теорема Лежандра). Якщо в площині дві точки лежать по різні боки прямий, то відрізок, їх з'єднує, перетинає дану пряму. Якщо промінь проходить через вершину трикутника всередину його, то він перетинає протилежну сторону трикутника. Три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, що лежить всередині трикутника. У трикутник можна вписати єдину окружність. Пряма перетинає коло не більш ніж у двох точках. Рівні дуги кола стягуються рівними хордами, і назад. Якщо вибрати одиничний відрізок, то всякому відрізку можна поставити у відповідність єдине позитивне число, зване довгою відрізка, і, назад, кожному позитивному числу можна поставити у відповідність певний відрізок, довжина якого виражається цим числом. Якщо всі внутрішні промені, що виходять з вершини кута АОВ, а так само сторона АТ і ОВ розбити на два класи так, що 1) кожен промінь належить одному і тільки одному з цих класів, промінь АТ належить першому класу, а промінь ОВ - до другого , 2) кожен промінь першого класу лежить між ОА та будь-яким променем другого класу, то існує один і тільки один промінь l, прикордонний між променями обох класів, причому сам промінь l належить або першого, або другого класу. Якщо вибрати деякий кут в якості одиниці вимірювання, то кожному кутку можна поставити відповідність єдине число, зване мірою або величиною кута.
Вихідним пунктом геометрії Лобачевського є прийняття всіх пропозицій геометрії Евкліда, що не залежать від 5-го постулату (тобто абсолютної геометрії, включаючи аксіоми Паша, Архімеда, Дедекинда), і приєднання до них взамін відкинутого 5-го постулату наступна аксіома , протилежний аксіомі Плейфера, а значить, і 5-му постулату.
Через точку, що лежить поза прямою площині, обумовленою ними, можна провести не менше 2-х прямих, що не перетинають даної прямої.
Ця аксіома стверджує існування, принаймні 2-х таких прямих.Отсюда випливає, що таких прямих існує нескінченна безліч.
Очевидно, що всі прямі, що проходять через точку М всередині вертикальних кутів a і b , Утворених прямими b і c також не перетинають а, а таких прямих нескінченна безліч.
Площина (або простір), в якій передбачається виконання аксіоми Лобачевського, називається площиною (або простором) Лобачевського.
Перейдемо безпосередньо до паралельних Лобачевського.
Дві граничні прямі СС 'і DD' називаються паралельними прямою ВВ 'в точці А, причому пряма С'С називається паралельної В'В в напрямку В'В, а пряма D'D називається паралельної прямої ВВ' в напрямок ВВ ' . Гострий кут a , Утворений паралельними з перпендикуляром АР, називається кутом паралельності в точці А відносно прямої BB '. Цей кут, є функція довжини р перпендикуляра АР і позначається так: a = П (р). АР називаються відрізком паралельності в точці А відносно прямої BB '.
Всі прямі пучка не перетинають BB 'і лежать всередині заштрихованих вертикальних кутів, називаються розбіжними з BB' або понад паралельними до BB '; кут, утворений такої прямої з перпендикуляром АР з обох від нього сторін, більше кута паралельності a .
Нарешті, всі інші прямі пучка, що утворюють з АР з якої-небудь сторони гострий кут, менше кута паралельності a , Називаються перетинають пряму BB 'або збіжними з BB'.
Необхідно звернути увагу, що геометрія Лобачевського при вказівка, то пряма СС 'паралельно прямій BB', є абсолютно обов'язковим також вказувати, по-перше, в якому напрямок CC 'паралельно BB', по-друге, в якій точці, бо у нас поки немає упевненості в тому, що якщо ми на прямій CC 'візьмемо якусь точку М, відмінну від А, то і по відношенню до пучка прямих з центру в точці М пряма СС' буде граничною прямою.
Визначення. Пряма С'C називається паралельної прямої в напрямок B'B в точці А, якщо, по-перше, пряма С'C не перетинає прямий BB ', по-друге, C'C є граничною у пучку прямих з центром в точці А, тобто всякий промінь АЕ, що проходить всередині кута CAD, де D-яка точка прямої BB ', перетинає промінь DB.
Умовимося в цілях стислості і зручності позначати паралельність прямої АА 'до BB'в напрямок B'B символом AA' ГЄ ГЄ B'B, де порядок букв вказує напрямок паралельності. На кресленні напрямок паралельності вказується стрілками.
Т еорема1. Якщо пряма ВВ'ГЄ ГЄ АА 'в точці М, то ВВ'ГЄ ГЄ АА 'в будь-якій своїй точці N.
Теорема 2. Якщо ВВ'ГЄ ГЄ АА ', то й назад: АА'ГЄ ГЄ ВВ '.
Теорема 3. Якщо АА'ГЄ ГЄ СС 'і ВВ'ГЄ ГЄ СС ', то АА'ГЄ ГЄ ВВ '.
Теорема 4. Якщо пряма CC 'лежить між двома прямими АА' і BB ', паралельними в деякому напрямок, не перетинаючи їх, то CC'параллельна обом цим прямим в тому ж напрямку.
Теорема 5.Якщо дві прямі при перетині з третьої утворюють рівні відповідні кути, або внутрішні односторонні кути, в сумі складають 2d, то ці прямі розходяться.
Завдання 902. (Збірник завдань - Атанасян, ч.2) Нехай (U1V1) ГЄ ГЄ (U2V2). Довести, що якщо пряма (UV) лежить між (U1V1) і (U2V2) і не перетинає одну з них, то вона паралельна даними.
Дійсно, відрізок U1U2, що з'єднує будь-які точки U1 і U2 паралельних прямих U2V2 і U1V1, перетне UV в деякій точці U, бо UV по умові лежить між U2V2 і U1V1 (теорема 1.18).
В силу паралельності U2V2 і U1V1 будь промінь U2E, що проходить всередині кута V2U2U1, перетне U1V1, а значить, і UV. Отже, U2V2 ГЄ ГЄ UV. Користуючись теоремами 2 і 3, легко переконатися, що U1V1 ГЄ ГЄ UV.
Цікаво відзначити, що в геометрії Лобачевського пряма може перетнути дві паралельні, не перетинаючи третьою. Дійсно, наприклад, будь-яка пряма EF, що розходиться з АА ', перетинає СС'і BB', не перетинаючи АА '.
