Випускна кваліфікаційна робота
Виконав тудент V курсу математичного факультету Кузнєцов Є.М.
Вятський державний гуманітарний університет
Кіров 2005
Введення
Вивчення багатьох фізичних процесів і геометричних закономірностей часто приводить до вирішення рівнянь, що містять параметр. Рішення задач з параметрами викликає великі труднощі в учнів, так як їх вивчення не є окремою складовою шкільного курсу математики, і розглядається тільки на нечисленних факультативних заняттях.
Труднощі при вивченні даного виду рівнянь пов'язані з наступними їх особливостями:
Достаток формул і методів, використовуваних при вирішенні рівнянь даного виду;
Можливість вирішення одного і того ж рівняння, що містить параметр різними методами;
Вище викладене зумовило проблему дослідження, яка полягає в дослідженні доцільності та можливості вивчення методів розв'язання рівнянь, що містять параметри, в старших класах середньої школи і в розробці відповідної методики. Вирішення цієї проблеми склало мету дослідження.
Об'єктом дослідження є процес навчання алгебри у 7-9 класах та алгебри і початків аналізу в 10-11 класах.
Предметом дослідження є класи рівнянь, що містять параметри, і їх методи вирішення.
Гіпотеза дослідження: застосування розробленої на основі загальних методів рішення рівнянь, що містять параметри, методики їх вирішення дозволить учням розв'язувати рівняння, що містять параметри, на свідомій основі, вибирати найбільш раціональний метод рішення, застосовувати різні методи вирішення.
Проблема, предмет, гіпотеза дослідження зумовили наступні завдання:
проаналізувати діючі підручники алгебри і початку аналізу для виявлення в них використання поняття В«параметраВ» і методів розв'язання рівнянь, що містять параметр;
виділити класи рівнянь, що містять параметри, і їх методи вирішення;
розробити програму факультативних занять на тему В«Методи рішення рівнянь, що містять параметрВ»;
здійснити дослідне викладання.
Теоретичні основи рішення рівнянь, що містять параметр
Розглянемо рівняння
(F)
з невідомими х, у, ..., z і з параметрами. При всякій припустимою системі значень параметрів О±0, ОІ0, ..., Оі0 рівняння (F) звертається в рівняння
(F0)
з невідомими х, у, ..., z, не містять параметрів. Рівняння (F0) має деяке цілком визначене безліч (бути, може, порожнє) рішень.
Аналогічно розглядаються нерівності і системи, що містять параметри. Допустимими системами значень параметрів вважаються системи, допустимі для кожного рівняння окремо.
Визначення. Вирішити рівняння, містить параметри, це означає, для кожної допустимої системи значень параметрів знайти безліч всіх рішень даного рівняння.
Поняття еквівалентності стосовно до рівнянь, що містять параметр, встановлюється наступним чином.
Визначення. Два рівняння
F (х, у, ..., z;) = 0 (F),
Ф (х, у, ..., z;) = 0 (Ф)
з невідомим х, у, ..., z і з параметрами називаються еквівалентними, якщо для обох рівнянь безліч допустимих систем значень параметрів одне і то ж і при будь-якої припустимою системі значень, параметрів обидва рівняння еквівалентні.
Отже, еквівалентні рівняння при якої припустимою системі значень параметрів мають одне і те ж безліч рішень.
Перетворення рівняння, що змінює безліч допустимих систем значень параметрів, приводить до рівняння, не еквівалентному даному рівнянню.
Припустимо, що кожне з невідомих, які містяться в рівнянні
F (x, у, z;) = 0 (F)
задано у вигляді деякої функції від параметрів:
х = х ();
у = у ();
z = z (). (Х)
Кажуть, що система функцій (Х), заданих спільно, задовольняє рівнянню (F), якщо при підстановці цих функцій замість невідомих х, у, ..., z в рівняння (F) ліва його частина звертається в нуль тотожне при всіх допустимих значеннях параметрів:
F (x (), y (), ..., z ()) в‰Ў 0.
При якої припустимою системі чисельних значень параметрів = О±0,, ..., відповідні значення функцій (Х) утворюють рішення рівняння [1].
Аналіз шкільних підручників з алгебри і початків аналізу
Проаналізуємо чинні підручники курсу алгебри і початку аналізу, щоб з'ясувати, наскільки в них представлені завдання, що використовують поняття В«параметрВ», і методи розв'язання рівнянь, містять параметр.
Макаричєв Ю.М. та ін В«Алгебра. 7 - 9 клас В»
Алгебра. 7 клас.
При вивченні рівнянь представлено два завдання з параметром (№ № 236, 243). Розглядаються найпростіші лінійні рівняння, але коефіцієнт при х є параметром і необхідно досліджувати на кількість коренів або приналежність кореня до цілих числах.
Також в даному підручнику в В§ 5 В«Лінійна функціяВ» (глава 2 В«ФункціїВ») розглядається пряма пропорційність, де, не вводячи поняття параметр, його використовують. А саме, з'ясовується розташування графіка функції залежно від коефіцієнта, який і є параметром.
Наступні завдання з параметром пропонуються вже тільки в додаткових завданнях до глави В«Системи лінійних рівнянь В»(№ № 1214-1216), де необхідно знайти значення параметра, якщо відома точка перетину графіків (див. [28]).
Алгебра 8 клас.
При вивченні теми В«Квадратні рівняння В»в розділі додаткових вправ для більш поглибленого повторення матеріалу пропонуються рівняння, містять параметр (№ № 645, 646, 660, 663-672), де необхідно знайти значення змінної (параметра), якщо відомий корінь рівняння або якесь співвідношення коренів. Можна виділити два номера (№ № 661, 662), де необхідно знайти значення параметра, якщо відомі знаки коренів рівняння.
При вивченні інших тем підручника 8 класу параметр не використовувався.
Алгебра. 9 клас.
Використання параметра ведеться в чолі В«Квадратична функціяВ». При формулюванні властивостей функції в залежності від коефіцієнта, і пропонується для вирішення завдання на знаходження нулів функції, яка залежить від параметра. У розділі В«додаткові завданняВ» наводяться завдання з параметром на дослідження:
області значень;
розташування графіка щодо прямий;
вершини параболи; нулів функції;
приналежність даних точок функції, містить два параметри.
При розгляді графіків функцій і будуються передумови для розв'язання рівнянь, містять параметр, графічним методом (паралельний перенос).
При вивченні систем рівнянь пропонуються додаткові завдання з параметром на дослідження кількості рішень системи.
В системі вправ для повторення курсу VII-IX класів завдань, містять параметр, не представлено (див. [29]).
Мордкович. А. Г. В«Алгебра 7 по 9 клас В»ІВ« Алгебра і початки аналізу 10 - 11 клас В»
Треба відзначити, що даний навчальний посібник складається з двох частин: з підручника і задачника (див. [30], [31]).
При вивченні лінійної функції (7 клас глава 6 В§ 28) розглядається лінійне рівняння з двома змінними та його графік, де учнів знайомлять з параметром в неявному вигляді, тобто при розгляді знаходження кореня лінійного рівняння з однією невідомою ставиться обмеження на змінну a (a0). При вивченні параметра, такі значення змінної і будемо називати особливими, для яких будуть відповідати приватні рішення.
Завдання:
Номери 828-831 задачника містять завдання, в яких потрібно знаходження коефіцієнта рівняння якщо відомо рішення рівняння, тобто йдеться про те, щоб знайти значення параметра, якщо відомо рішення рівняння. У номерах 902-903 необхідно знайти значення змінної, якщо відомо, що графік функції проходить через дану точку. Ці номери готують учня до методу В«розгалуженьВ» розв'язання рівнянь з параметром, про який розповімо пізніше в пункті 4.1.1.
Розглянемо підручник 8 класу.
У главі В«Квад...
