Вступ
Основна частина
Повна і неповна індукція Принцип математичної індукції Метод математичної індукції Рішення прикладів Рівності Ділення чисел Нерівності
Висновок
Список використаної літератури
Вступ
В основі всякого математичного дослідження лежать дедуктивний та індуктивний методи. Дедуктивний метод міркувань - це міркування від загального до приватного, тобто міркування, вихідним моментом якого є загальний результат, а заключним моментом - приватний результат. Індукція застосовується при переході від приватних результатів до загальних, тобто є методом, протилежним дедуктивному.
Метод математичної індукції можна порівняти з прогресом. Ми починаємо з нижчої, в результаті логічного мислення приходимо до вищого. Людина завжди прагнула до прогресу, до вміння розвивати свою думку логічно, а значить, сама природа визначено йому роздумувати індуктивно.
Хоча і виросла область застосування методу математичної індукції, в шкільній програмі йому відводиться мало часу. Ну, скажіть, що корисного людині принесуть ті два-три уроки, за які він почує п'ять слів теорії, вирішить п'ять примітивних завдань, і, в результаті отримає п'ятірку за те, що він нічого не знає.
А адже це так важливо - вміти міркувати індуктивно.
Основна частина
За своїм первинним змістом слово "індукція" застосовується до міркувань, за допомогою яких отримують загальні висновки, спираючись на ряд приватних тверджень. Найпростішим методом міркувань такого роду є повна індукція. Ось приклад подібного міркування.
Нехай потрібно встановити, що кожне натуральне парне число n в межах 4
4 = 2 +2; 6 = 3 +3; 8 = 5 +3; 10 = 7 +3; 12 = 7 +5;
14 = 7 +7; 16 = 11 +5; 18 = 13 +5; 20 = 13 +7.
-->> Ці дев'ять рівностей показують, що кожне з цікавлять нас чисел дійсно представляється у вигляді суми двох простих доданків.
Таким чином, повна індукція полягає в тому, що загальне твердження доводиться окремо в кожному з кінцевого числа можливих випадків.
Іноді загальний результат вдається вгадати після розгляду не всіх, а досить великого числа окремих випадків (так звана неповна індукція).
Результат, отриманий неповної індукцією, залишається, однак, лише гіпотезою, поки він не доведений точним математичним міркуванням, що охоплює всі приватні випадки. Іншими словами, неповна індукція в математиці не вважається законним методом суворого докази, але є потужним методом відкриття нових істин.
Нехай, наприклад, потрібно знайти суму перших n послідовних непарних чисел. Розглянемо окремі випадки:
1 = 1 = 12
1 +3 = 4 = 22
1 +3 +5 = 9 = 32
1 +3 +5 +7 = 16 = 42
1 +3 +5 +7 +9 = 25 = 52
Після розгляду цих кількох окремі випадки напрошується наступний загальний висновок:
1 +3 +5 + ... + (2n-1) = n2
тобто сума n першої послідовності непарних чисел дорівнює n2
Зрозуміло, зроблене спостереження ще не може служити доказом справедливості приведеної формули.
Повна індукція має в математиці лише обмежене застосування. Багато цікаві математичні твердження охоплюють нескінченне число окремих випадків, а провести перевірку для нескінченного числа випадків ми не в змозі. Неповна ж індукція часто призводить до помилкових результатів.
У багатьох випадках вихід з такого роду утруднень полягає у зверненні до особливого методу міркувань, званому методом математичної індукції. Він полягає в наступному.
Нехай потрібно довести справедливість деякого твердження для будь-якого натурального числа n (наприклад потрібно довести, що сума перших n непарних чисел дорівнює n2). Безпосередня перевірка цього твердження для кожного значення n неможлива, оскільки безліч натуральних чисел нескінченно. Щоб довести це твердження, перевіряють спочатку його справедливість для n = 1. Потім доводять, що при будь-якому натуральному значенні k з справедливості аналізованого затвердження при n = k випливає його справедливість і при n = k +1.
Тоді твердження вважається доведеним для всіх n. У насправді, твердження справедливо при n = 1. Але тоді воно справедливо і для наступного числа n = 1 +1 = 2. З справедливості затвердження для n = 2 випливає його справедливість для n = 2 +1 = 3. Звідси випливає справедливість твердження для n = 4 і т.д. Ясно, що, врешті- решт, ми дійдемо до будь-якого натурального числа n. Значить, твердження вірне для будь-якого n.
Узагальнюючи сказане, сформулюємо наступний загальний принцип.
Принцип математичної індукції.
Якщо пропозиція А (n), залежне від натурального числа n, істинно для n = 1 і з того, що воно істинне для n = k (де k-будь-яке натуральне число), випливає, що воно правдиве і для наступного числа n = k +1, то припущення А (n) істинно для будь-якого натурального числа n.
У ряді випадків буває потрібно довести справедливість деякого твердження не для всіх натуральних чисел, а лише для n> p, де p -фіксоване натуральне число. У цьому випадку принцип математичної індукції формулюється таким чином.
Якщо пропозиція А (n) істинно при n = p і якщо А (k) Гћ А (k +1) для будь-якого k> p, то пропозицію А (n) істинно для будь-якого n> p.
Доказ за методом математичної індукції проводитися наступним чином. Спочатку доказуване твердження перевіряється для n = 1, тобто встановлюється істинність висловлювання А (1). Цю частину докази називають базисом індукції. Потім слід частина докази, звана індукційним кроком. У цій частині доводять справедливість твердження для n = k +1 в припущенні справедливості затвердження для n = k (припущення індукції), тобто доводять, що А (k) Гћ A (k +1).
ПРИКЛАД 1
Довести, що 1 +3 +5 + ... + (2n-1) = n2.
Рішення: 1) Маємо n = 1 = 12. Отже, твердження вірне при n = 1, тобто А (1) істинно.
2) Доведемо, що А (k) Гћ A (k +1).
Нехай k-будь-яке натуральне число і нехай утверж-деніе справедливо для n = k, тобто
1 +3 +5 + ... + (2k-1) = k2.
Доведемо, що тоді твердження справедливе і для наступного натурального числа n = k +1, тобто що
1 +3 +5 + ... + (2k +1) = (k +1) 2.
Справді,
1 +3 +5 + ... + (2k-1) + (2k +1) = k2 +2 k +1 = (k +1) 2.
Отже, А (k) Гћ А (k +1). На підставі принципу математичної індукції укладаємо, що припускає-ложении А (n) істинно для будь-якого nГЋ N.
ПРИКЛАД 2
Довести, що
1 + х + х2 + х3 + ... + хn = (хn +1-1)/(х-1), де х В№ 1
Рішення: 1) При n = 1 отримуємо
1 + х = (х2-1)/(х-1) = (х-1) (х +1)/(х-1) = х +1
отже, при n = 1 формула вірна; А (1) істинно.
2) Нехай k-будь-яке натуральне число і нехай формула правильна при n = k, тобто
1 + х + х2 + х3 + ... + хk = (хk +1-1)/(х-1).
Доведемо, що тоді виконується рівність
1 + х + х2 + х3 + ... + хk + xk +1 = (xk +2-1)/(х-1).
Справді
1 + х + х2 + x3 + ... + хk + xk +1 = (1 + x + x2 + x3 + ... + xk) + xk +1 = (xk +1-1)/(x-1) + xk +1 = (xk +2-1)/(x-1).
Отже, А (k) Гћ A (k +1). На підставі принципу математичної індукції укладаємо, що форму-ла правильна для будь-якого натурального числа n.
ПРИКЛАД 3
Довести, що число діагоналей опуклого n-кутника дорівнює n (n-3)/2.
Рішення: 1) При n = 3 твердження спра-
Нехай А1А2А3 ... AkAk +1- опуклий (K +1)-вугілля-ник. Проведемо в ньому діагональ A1Ak. Щоб під-рахувати загальне число діагоналей цього (k +1)-вугілля-ника потрібно підрахувати число діагоналей в k-кутнику A1A2 ... Ak, додати до отриманого числа k-2, тобто число діагоналей (k +1)-кутника, які виходять з вершини Аk +1, і, крім того, слід врахувати діагональ А1Аk.
Таким чином,
пѓ„ k +1 = пѓ„ k + (k-2) +1 = k (k-3)/2 + k-1 = (k +1) ...
