Абсолютно неперервні функції. Зв'язок між абсолютно безперервними функціями і інтегралом Лебега (КФЕ 394).
Абсолютно безперервної називається така функція |, задана на відрізку [a, b], що яка б не була система попарно непересічних інтервалів (ak, bk) з сумою довжин меншою d, сума модулів різниць значень функції | в кінцях інтервалів менше ніж e.
Утв. Всяка абсолютно неперервна ф-я має обмежену зміну. ​​
Теорема. Функція, що представляє собою невизначений інтеграл сумовною ф-та, абсолютно неперервна.
Метричний пр-во. Визначення та приклади. Повнота. Теорема про вкладені кулях в метричному пр-ве.
напівгруп наз. безліч об'єктів, якщо для його елементів визначена замкнута асоціативна бінарна операція.
Групою наз. безліч об'єктів, якщо для його елементів визначена замкнута асоціативна бінарна операція і існує одиниця.
Кільце - безліч об'єктів із двома бінарними операціями, що є групою по одній з операцій, і полугруппой по другій операції, причому для елементів кільця справедливий закон асоціативності і дистрибутивності.
Поле - кільце з одиницею, що містить елементи відмінні від нуля, для кожного з яких визначено зворотний елемент по "множенню" (Що є групою по множенню).
Лінійним векторним пр-вом над кільцем наз. безліч об'єктів званих векторами з деякими операціями векторного додавання і множення вектора на скаляр, такими, що це безліч є групою по векторному додаванню і справедливі закони асоціативності і дистрибутивності для множення на скаляр.
опуклі підмножиною Е векторного пр-ва Х називається таке його підмножина, що для будь-яких його двох елементів х і в і числа q з [0, 1] елемент QХ + (1-q) у належить Е.
врівноваженість підмножиною Е векторного пр-ва Х називається таке його підмножина, що для будь-якого х з Е і числа q, по модулю не перевершує одиниці елемент QХ належить Е.
Абсолютно опуклим підмножиною Е векторного пр-ва Х називається таке його підмножина, що для будь-яких його двох елементів х і в і числа будь-яких двох чисел ab: 1 Ві | a | + | b | елемент Aх + bу належить Е.
поглинає підмножиною Е векторного пр-ва Х називається таке його підмножина, що для будь-якого х з Х існує число a більше нуля, що для все чисел b по модулю не менших a знайдеться елемент у з Е, що х дорівнює bу.
калібрувальних функцією векторного пр-ва Х називається така функція р (х): Х В® R, що для неї виконані наступні умови:
Для будь-якого скаляра з До виконана аксіома врівноваженості: "aГЋК р (Aх) = a Г— р (х).
Виконано нер-во трикутника: р (х) + р (у) Ві р (х + у).
Полунормой векторного пр-ва Х називається така функція р (х): Х В® R, що для неї виконані наступні умови:
Для будь-якого скаляра з До виконана аксіома врівноваженості: "aГЋК | | Aх | | = | a | Г— | | х | |.
Виконано нер-во трикутника: р (х) + р (у) Ві р (х + у).
Утв. Нехай р (a) - неотр. калібрувальна ф-я. Тоді мн-во Еl = {х: р (х)
Нормованим називається таке векторне пр-во Х над полем К, якщо визначена функція норми | | Г— | | з Х в R, така, що для неї справедливі наступні умови:
Норма неотрицательна і дорівнює нулю лише в тому випадку, коли сам елемент дорівнює нулю: | | х | | Ві 0, | | х | | = 0 Г› х = 0.
Для будь-якого скаляра з До виконана аксіома врівноваженості: "aГЋК | | Aх | | = | a | Г— | | х | |.
Виконано нер-во трикутника: | | х | | + | | у | | Ві | | х + у | |.
метричних пр-вом називається мн-во Х на якому задана бінарна функція r (х, у), для якої справедливі наступні умови:
r (х, у) = 0 Тітта х = у. r (х, у) = r (у, х). r (х, z) ВЈ r (х, у) + r (у, z).
Повним називається такий метричний пр-во, в якому будь-яка фундаментальна посл-ть сх-ся.
топологічних пр-вом називається така множина Х в якому визначено систему його підмножин t, звана топологією, така, що для неї справедливі умови:
Мн-во Х і порожньо мн-во належить t. Об'єднання і перетин мн-в з t лежить в t.
Базою топології пр-ва Х називається система відкритих мн-в W з Х, таких, що всяке відкрите мн-во з Х може бути представлено у вигляді кінцевої або нескінченної суми мн-в з W.
Гаусдорфів топологія (????).
Теорема. Нехай Х - векторне топологічне пр-во, тоді існує база околиць нуля, яка складається з замкнутих поглинаючих мн-в.
Породжує система полунорм (?).
Теорема. Локально опукле пр-во Х метрізуемо Тітта, коли топологія Гаусдорфів і існує рахунковий набір породжують полунорм.
банахових пр-ва. Теорема про вкладені кулях в банаховому пр-ве (КФЕ 81).
банахових пр-вом називається повне нормоване пр-во.
Теорема. Для того щоб метричний пр-во Х було повним необх. і дост., щоб у ньому будь-яка остан-ть вкладених один в одного замкнутих куль, радіуси яких брало не прагнуть до нуля, мала непорожній перетин.
Теорема Бера. Принцип стискаючих відображень (КФЕ 83).
стискається називається таке відображення | повного метричного пр-ва |: Х В® Х, що існує число r <1, ​​таке що rr (х, у) Ві r (| (х), | (у)).
Теорема. Для стискає відображення | існує єдина нерухома точка | (х) = х.
Теорема Бера. Повне метричне пр-во Х не може бути представлено у вигляді об'єднання рахункового числа ніде не щільних мн-в.
Теорема про поповнення (КГТ 12).
Поповненням метричного пр-ва Х називається метричний пр-во У, таке, що виконані наступні усл-я:
Y повно. Х лежить в Y. Х щільно в Y, тобто кожна точка з Y є граничною для Х.
Теорема. Кожне метричний пр-во Х допускає поповнення Y. Будь-які дві поповнення пр-ва Х ізометрічни, причому ізометрія, зв'язує їх, залишає на місці точки Х.
сепарабельного, компактність, критерій Хаусдорфа.
сепарабельного називається таке топологічний пр-во Х, що в ньому існує рахункове всюди щільне мн-во Е, тобто для будь-якого елемента з Х і для будь-якої його околиці знайдеться елемент з Е, що належить цій околиці.
Компактним підмножиною топологічного пр-ва Х називається таке його підмножина А, що з будь-якого покриття мн-ва А системою відкритих мн-в можна виділити кінцеве подпокритіе.
Предкомпактом називається безліч, замикання к-го компакт.
e-мережу для мн-ва В є таке мн-во А, що для будь-якого елементу з В знайдеться елемент з А, віддалений від нього не далі, ніж на e.
Критерій Хаусдорфа. Нехай Х - повне метричне пр-во і А підмножина в Х. Мн-во А предкомпактно Тітта, коли для кожного e> 0 мн-во А володіє кінцевою e-мережею.
Сл-е. У конечномерное нормованому пр-ве предкомпактность рівносильна обмеженості.
Безперервні функції на метричних компактах. Еквівалентність норм у Rn.
Теорема. Нехай Х - компактне метричне пр-во і | - безперервна на ньому числова ф-я. Тоді | ограніченна на Х і досягає на Х верхньої та нижньої граней.
Еквівалентними в лін-ом пр-ве Х називаються такі дві норми | | Г— | | 1 і | | Г— | | 2, що існують позитивні числа a і b для яких справедливо нер-во a | | x | | 1 ВЈ | | x | | 2 ВЈ b | | x | | 1 при всіх x з X.
Теорема. У конечномерное лін. пр-ве Х будь-які дві норми еквівалентні.
Теорема Асколі-Арцела (КГ 75).
Теорема Асколі-Арцела. Нехай С (Х)-нормоване пр-во речових безперервних ф-ї на метричному пр-ве Х з нормою | | | | | = max | | (x) |. Для того щоб підмножина А мн-ва С (Х) було предкомпактним необх. і дост. Щоб були воно задовольняло наступним умовам:
Мн-во А рівномірно обмежено тобто для будь-якої функції | існує єдине для всіх число С, таке що модуль | не перевершує це число: $ С "| | | (х) | ВЈ С.
Мн-во А равностепенно безперервно тобто для будь функції | і для будь-яких двох точок х і у знайдуться такі числа e і d, що як тільки відстань між точками менше, ...
