При вирішенні фізичних і технічних завдань доводиться знаходити певні інтеграли від функцій, первісні яких не виражаються через елементарні функції. Це призвело до необхідності виведення наближених формул обчислення визначених інтегралів. Познайомимося з двома з них: формулою трапецій і формулою парабол.
1. Формула трапецій.
Нехай потрібно обчислити інтеграл, де f (x) - неперервна функція. Для простоти міркувань обмежимося випадком, коли f (x) Ві 0. Розіб'ємо відрізок [a, b] на n відрізків точками a = x0
Де f (xk-1) і f (xk) - відповідно підстави трапецій; xk - xk-1 = (ba)/n - їх висоти.
Таким чином, отримана наближена формула
яка і називається формулою трапецій. Ця формула тим точніше, чим більше n.
Розглянемо як приклад інтеграл . Точне значення цього інтеграла знаходиться просто:
Обчислимо тепер за формулою трапецій його наближене значення. Нехай n = 5. Тоді маємо: a = x0 = 0, x1 = 0,2, x2 = 0,4, x3 = 0,6, x4 = 0,8, x5 = 1 = b і відповідно f (x0) = 0, f (x1 ) = 0,04, f (x2) = 0,16, f (x3) = 0,36, f (x4) = 0,64, f (x5) = 1. Отже,
Точне значення інтеграла одно 0,3333 ...., тому абсолютна помилка менше 0,007. У багатьох технічних завдань ця точність достатня.
Якщо збільшити число n, то точність буде більшою. Так, наприклад, при n = 10
тобто абсолютна помилка менше 0,002.
У більш повних курсах вищої математики доводиться, що якщо функція f (x) має на [a, b] безперервну другу похідну, то абсолютна величина похибки формули трапецій не більше, ніж
де k-найбільше значення на відрізку [a, b].
Слід зазначити, що зі збільшенням n збільшується не тільки точність обчислення певного інтеграла, але й обсяг обчислювальної роботи. Однак тут на допомогу приходять ЕОМ.
Обчислимо за формулою трапеції інтеграл при n = 10. Розіб'ємо відрізок [0, 1] на 10 рівних частин точками х0 = 0, х1 = 0,1, ..., Х9 = 0,9, х10 = 1. Обчислимо наближено значення функції f (x) = в цих точках: f (0) = 1,0000, f (0,1) = 0.9091, f (0,2) = 0,8333, f (0,3) = 0.7692, f (0,4) = 0,7143, f (0,5) = 0,6667 , f (0,6) = 0,6250, f (0,7) = 0,5882, f (0,8) = 0,5556, f (0,9) = 0,5263, f (1) = 0,5000.
За формулою трапецій отримуємо
Оцінимо похибку отриманого результату. Так як f (x) = 1/(1 + x), то На відрізку [0, 1] маємо. Тому похибка отриманого результату не перевершує величини
Обчислимо точне значення даного інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца:
Абсолютна помилка результату, отриманого за формулою трапецій, менше 0,0007. Це знаходиться у відповідності з даною вище оцінкою похибки.
Ідею, яка була використана при побудові формули трапецій, можна використовувати для отримання більш точних наближених формул для обчислення визначеного інтеграла.
2. Формула парабол.
Доведемо попередньо дві леми.
Лемма 1.1. Через будь-які три точки М1 (х1; у1), М2 (х2; у2), М3 (х3; у3) з різними абсцисами можна провести єдину криву виду
у = ах2 + Вх + С (1)
Доказ. Підставляючи в рівняння параболи (1) координати точок М1, М2, М3, отримуємо систему трьох рівнянь першого ступеня з трьома невідомими А, В, С:
Так як числа х1, х2, х3 різні, то визначник цієї системи відмінний від нуля:
Отже, дана система має єдине рішення, тобто коефіцієнти А, В, С визначаються однозначно. g
Відзначимо, що якщо А В№ 0, то крива (1) є параболою, якщо А = 0, то прямий.
Лемма 1.2. Площа s криволінійної трапеції, обмеженою кривою у = ах2 + Вх + С, що проходить через точки М1 (-h; y1), M2 (0, y2), M3 (h, y3) (рис. 2) виражається формулою
(2)
Доказ. Підставляючи в рівняння у = ах2 + Вх + С координати точок М1, М2, М3, отримуємо у1 = Аh2-Вh + С; у2 = С; у3 = Аh2 + Вh + С, звідки випливає, що
2Аh2 +2 С = у1 + у3; С = у2 (3)
Враховуючи співвідношення (3), маємо
Розглянемо знову криволінійну трапецію, обмежену довільної кривої y = f (x). Розіб'ємо відрізок [a, b] на 2p рівних відрізків точками a = x0
Через кожну трійку точок
М0 М1 М2, ..., М2k М2k +1 М2k +2, ..., М2n-2 М2n-1 М2n
проведемо криву виду у = ах2 + Вх + С (див. лему 1.1). В результаті отримаємо n криволінійних трапецій, обмежених зверху параболами або прямими (ці трапеції заштриховані на рис. 3). Так як площа часткової криволінійної трапеції, відповідної відрізку [x2k, x2k +2], наближено дорівнює площі відповідної "параболічної" трапеції, то за формулою (2) маємо [в даному випадку h = (ba)/(2n)]
де yk = f (xk), k = 0, 1, 2, ..., 2n. Складаючи почленно ці наближені рівності, отримуємо наближену формулу
або в розгорнутому вигляді
Ця формула називається формулою парабол або формулою Сімпсона.
У формулі параболи значення функції f (x) в непарних точках розбиття х1, х3, ..., х2n-1 має коефіцієнт 4, в парних точках х2, х4, ..., х2n-2 - коефіцієнт 2 і в двох граничних точках х0 = а, х1, х2n = b - коефіцієнт 1.
Геометричний зміст формули Сімпсона очевидний: площа криволінійної трапеції під графіком функції f (x) на відрізку [a, b] наближено замінюється сумою площ фігур, що лежать під параболами (прямими). ​​
У повних курсах вищої математики доводиться, що якщо функція f (x) має на [a, b] неперервну похідну четвертого порядку, то абсолютна величина похибки формули Сімпсона не більше ніж
де М - найбільше значення на відрізку [a, b]. Вище зазначалося, що похибка формули трапецій оцінюється числом
Так як n4 зростає швидше, ніж n2, то похибка формули Сімпсона з ростом n зменшується значно швидше, ніж похибка формули трапецій. Цим і пояснюється, що формула Сімпсона дозволяє отримати більшу точність, ніж формула трапецій.
Для порівняння точності наближених формул обчислимо ще раз інтеграл , Але тепер за формулою Сімпсона при n = 4. Розіб'ємо відрізок [0, 1] на чотири рівні частини точками х0 = 0, х1 = 1/4, х2 = 1/2, х3 = 3/4, х4 = 1 і обчислимо наближено значення функції f (x) = 1/(1 + x) в цих точках у0 = 1,0000, у1 = 0,8000, у2 = 0,6667, у3 = 0,5714, у4 = 0,5000.
За формулою Сімпсона отримуємо
Оцінимо похибку отриманого результату. Для підінтегральна функція f (x) = 1/(1 + x) маємо: f (4) (x) = 24/(1 + x) 5, звідки випливає, що на відрізку [0, 1]. Отже, можна взяти М = 24, і похибка результату не перевершує величини 24/(2880 Г— 44), 0б0004. Порівнюючи наближене значення з точним, укладаємо, що абсолютна помилка результату, отриманого за формулою Сімпсона, менше 0,00011. Це знаходиться у відповідності з даною вище оцінкою похибки і, крім того, свідчить, що формула Сімпсона значно точніше формули трапецій. Тому формулу Сімпсона для наближеного обчислення визначених інтегралів використовують частіше, ніж формулу трапецій.
Як зазначалося вище, наближені формули для обчислення визначеного інтеграла застосовують в тих випадках, коли первообразная підінтегральна функція не виражається через елементарні функції.
Обчислимо, наприклад, інтеграл по формулою Сімпсона з точністю до 0,001.
Щоб вибрати необхідне для отримання заданої точності число 2n, знайдемо f (4) (x). Послідовно диференціюючи функцію f (x) =, отримуємо
f (4) (x) = 4 (4х4-12х2 +3)
Так як на відрізку [0, 1] ВЈ 1, ВЅ 4х4-12х2 +3 ВЅ ВЈ 5, то. Отже, можна взяти М = 20. Використовуючи формулу оцінки похибки, маємо 20/2880n4 <1/1000, звідки n4> 1000/144. Для того щоб виконувалася ця нерівність, достатньо взяти n = 2, тобто 2n = 4.
Розіб'ємо тепер відрізок [0, 1] на чотири рівні частини точками х0 = 0, х1 = 1/4, х2 = 1/2, х3 = 3/4, х4 = 1 і обчислимо наближено значення функції f (x) = у цих точках у0 = 1,0000, у1 = 0,9394, у2 = 0,7788, у3 = 0,5698, у4 = 0,3679. Застосовуючи формулу Сімпсона, отримуємо
Таким чином, з точністю до 0,001. Отже, розбивши відрізок [0, 1] всього на чотири рівні частини і замінивши розглянутий інтеграл сумою, що стоїть в правій частині формули Сімпсона, ми вирахували даний інтеграл з необхідною точністю.
У висновку відзначимо, що кожний з викладених методів наближеного обчислення інтегралів містить чіткий алгоритм їх знаходження, що дозволяє широко застосовувати ці методи для обчислень на ЕОМ. Таким чином, зазначені методи - ефективний засіб обчислення інтегралів. Для інтегралів, які не можна виразити через елементарні функції, за допомогою ЕОМ і найпростіших наближених методів можна скласти таблиці їх значень.
