Міністерство загального та вищої освіти Російської Федерації
Іркутський Державний Технічний Університет
Кафедра ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ
Реферат
На тему: "Екстремуми функцій багатьох змінних"
Виконав:
Студент групи ПЕ-97-1
Мартинов Ф.О.
Перевірила:
Викладач кафедри
Сєдих Є.І.
Іркутськ 1998
План реферату:
1. Поняття екстремуму ........................... 2
2. Необхідні умови екстремуму .. 3
3. Достатні умови екстремуму ... 6
4. Локальні екстремуми .................... 8
5. Умовні екстремуми ...................... 9
Екстремуми функцій багатьох змінних.
Для початку розглянемо необхідні умови екстремуму функції, також визначимо поняття екстремуму. Почнемо з поняття екстремуму:
Покладемо, що є деяка функція з двома змінними
Визначення: Точка називається точкою екстремуму (максимуму або мінімуму)
функції, якщо є відповідно найбільше або найменше значення функції в деякій околиці точки.
При цьому значення називається екстремальним значенням функції (відповідно максимальним або мінімальним). Кажуть також, що функція має в точці екстремум (або досягає в точці екстремуму).
Зауважимо, що в силу визначення точка екстремуму функції лежить всередині області визначення функції, так що функція визначена в деякій (хоча б і малої) області, що містить цю точку. Вид поверхонь, що зображують поверхні функцій в околиці точок екстремуму показаний на рис. 1.
Тепер встановимо необхідні умови, при яких функція досягає в точці екстремуму; для початку будемо розглядати тільки диференційовних функції.
Необхідний ознака екстремуму: Якщо в точці дифференцируемая функція має екстремум, то її приватні похідні в цій точці дорівнюють
нулю:
,.
Доказ: Припустимо, що функція має в точці екстремум.
Згідно з визначенням екстремуму функція при постійному , як функція одного досягає екстремуму при . Як відомо, необхідною умовою для цього є звернення в нуль похідної від функції при ,
т. тобто
.
Аналогічно функція при постійному , як функція одного , досягає екстремуму при . Значить,
Що і потрібно було довести.
Точка , координати якої звертають в нуль обидві приватні похідні функції , називається стаціонарною точкою функції .
Рівняння дотичної площини до поверхні :
для стаціонарної точки приймає вид .
Отже, необхідна умова досягнення дифференцируемой функцією екстремуму в точці геометрично виражається в тому, що дотична площина до поверхні - графіком функції у відповідній її крапці паралельна площині незалежних змінних.
Для відшукання стаціонарних точок функції потрібно прирівняти нулю обидві її приватні похідні
,.
(*)
і вирішити отриману систему двох рівнянь з двома невідомими.
Приклад 1: Знайдемо стаціонарні точки функції
Система рівнянь (*) має вигляд:
З другого рівняння випливає, що або , або .
Підставляючи по черзі ці значення в перше рівняння, знайдені чотири стаціонарні точки:
Які із знайдених точок дійсно є точками екстремуму, ми встановимо після приведення достатньої умови екстремуму.
Іноді вдається, і, не вдаючись до достатнім умовам, з'ясувати характер стаціонарної точки функції. Так, якщо з умови задачі безпосередньо випливає, що розглянута функція має де-то максимум або мінімум і пі цьому системі рівнянь (*) задовольняє тільки одна крапка (тобто Одна пара значень x і y), то ясно, що ця пара і буде шуканої точкою екстремуму функції.
Зауважимо, нарешті, що точками екстремуму неперервної функції двох змінних можуть бути точки, в яких функція недіфференціруемий (їм відповідають вістря поверхні - графіка функції).
Так, наприклад, функція має, очевидно, на початку координат мінімум, рівний нулю, але в цій точці функція недіфференціруемий; графік цієї функції є круглий конус з вершиною в початку координат і віссю, що збігається з віссю .
Отже, якщо мати на увазі не тільки диференційовні, але і взагалі безперервні функції, то потрібно сказати, що точками екстремуму можуть бути стаціонарні точки і точки, в яких функція недіфференціруемий.
Цілком аналогічно визначається поняття екстремуму функції будь-якого числа незалежних змінних.
і встановлюються необхідні умови екстремуму. Саме: диференційовних функцій n змінних може мати екстремуми тільки при тих значеннях x, y, z, ..., t, при яких дорівнюють нулю всі її n приватних похідних першого порядку:
Ці рівності утворюють систему n рівнянь з n невідомими.
Тепер визначимо достатні умови для екстремуму функції двох змінних. Так само як і для функції однієї змінної, необхідний ознака екстремуму в разі багатьох змінних не є достатнім. Це означає, що з рівності нулю приватних похідних в даній точці зовсім не випливає, що ця точка обов'язково є точкою екстремуму. Візьмемо функцію Її приватні похідні дорівнюють нулю на початку координат,
однак функція екстремуму не досягає. У самому справі, функція, будучи рівною нулю на початку координат, має в будь близькості до початку координат як позитивні значення (у першому і третьому координатних кутах), так і негативні (у другому і четвертому координатних кутах), і значить, нуль не є ні найбільшим, ні найменшим значенням цієї функції.
Достатні умови екстремуму для функції кількох змінних носять значно більш складний характер, ніж для функції однієї змінної. Ми розглянемо ці умови без доказу тільки для функції двох змінних.
Нехай точка є стаціонарною точкою функції , тобто
Обчислимо в точці значення другого приватних похідних функції і позначимо їх для стислості літерами A, B і C:
Якщо
, то функція
має в точці
екстремум: при A <0 і C <0 і мінімум при A> 0 і C> 0 (З умови
випливає, що A і C обов'язково мають однакові знаки).
Якщо , то точка не є точкою екстремуму.
Якщо , то неясно, чи є точка точкою екстремуму і потрібне додаткове дослідження.
Приклад:
1) Раніше в прикладі було встановлено, що функція
має чотири стаціонарні точки:
Другі приватні похідні даної функції дорівнюють
У точці маємо: A = 10, B = 0, C = 2. Тут ; значить, точка є точкою екстремуму, і так як A і C позитивні, то цей екстремум - мінімум.
У точці відповідно буде A = -10, B = 0, C = -4/3;.
Це точка максимуму. Точки і не є екстремумами функції (тому в них ).
2) Знайдемо точки екстремуму функції ;
Прирівнюючи приватні похідні нулю:
,
знаходимо одну стаціонарну точку - початок координат. Тут A = 2, B = 0, C = -2. Cледовательно, і точка (0, 0)
не є точкою екстремуму. Рівняння є рівняння гіперболічного параболоїда (див. Рис. 2.) По малюнку видно...
