Карпова Ірина Вікторівна, старший викладач кафедри алгебри ХДПУ
Завдання на складання рівнянь, або текстові алгебраїчні задачі, можна умовно класифікувати за типами:
завдання на числові залежності;
завдання, пов'язані з поняттям В«відсоткаВ»;
завдання на прогресії;
задачі на рух;
завдання на спільну роботу;
завдання на суміші і сплави.
Стандартна схема вирішення текстовій завдання складається з декількох етапів:
Позначення буквами x, y, z, ... невідомих величин, про які йдеться в задачі.
Складання за допомогою введених змінних і відомих з умови задачі величин рівняння або системи рівнянь (в деяких випадках - Систем нерівностей).
Рішення отриманого рівняння або системи рівнянь.
Відбір рішень, підходять за змістом завдання.
Вибираючи невідомі і складаючи рівняння, ми створюємо математичну модель ситуації, описаної в умові задачі. Це означає, що всі співвідношення повинні слідувати з конкретних умов завдання, тобто кожне умова має бути представлено у вигляді рівняння (або нерівності).
Розглянемо приклади розв'язання деяких типів завдань з наведеної вище класифікації, попередньо виділивши особливості завдань кожного типу, які треба враховувати при їх вирішенні.
Завдання на рух
Рівняння, які складаються на підставі умов задач на рух, зазвичай містять такі величини, як відстань, швидкості рухомих об'єктів, час, а також швидкість течії води (при русі по річці). При вирішенні цих завдань беруть такі припущення:
Якщо немає спеціальних застережень, то рух вважається рівномірним.
Повороти рухомих тіл, переходи на новий режим руху вважаються відбуваються миттєво.
Якщо тіло з власною швидкістю х рухається по річці, швидкість течії якої дорівнює у, то швидкість руху тіла за течією вважається рівною (х + у), а проти течії - (х-у).
При вирішенні завдань на рух рекомендується зробити малюнок, що відображає всі умови задачі. При цьому вирішальний завдання повинен вибрати схему вирішення: якого виду рівняння становити, тобто що порівнювати: час, витрачений на рух на окремих ділянках шляху, або пройдений кожним об'єктом шлях.
При вирішенні задач такого типу часто необхідно дізнатися час зустрічі двох об'єктів, початківців рух одночасно з двох точок з різними швидкостями і рухаються назустріч один одному або у випадку, коли один об'єкт наздоганяє інший.
Нехай відстань між точками А і В дорівнює S. Два тіла починають рух одночасно, але мають різні швидкості v1 і v2. Нехай С - точка зустрічі, а t - час руху тіл до зустрічі. У разі руху назустріч один одному маємо АС = v1t, BC = v2t. Складемо ці два рівності:
АС + СВ = v1t + v2t = (v1 + v2) t Гћ AB = S = (v1 + v2) t Гћ.
Якщо одне тіло доганяє інше, то тепер отримуємо АС = v1t, BC = v2t. Віднімемо ці рівності:
АС-Нд = (v1-v2) t.
Так як АС-Нд = AB = S, то час, через яке перше тіло наздожене друге, визначається рівністю
.
Задача 1. Пароплав пройшов 4 км проти течії річки, а потім пройшов ще 33 км за течією, витративши на весь шлях 1:00. Знайдіть власну швидкість пароплава, якщо швидкість течії річки дорівнює 6,5 км/ч.
Рішення:
Нехай х км/год - власна швидкість пароплава.
Тоді (х +6,5) км/год - швидкість пароплава за течією.
(х-6, 5) км/год - швидкість пароплава проти течії.
Так як проти течії пароплав пройшов 4 км зі швидкістю (х-6, 5) км/год, то
ч. - час руху пароплава проти течії.
Так як за течією пароплав пройшов 33 км зі швидкістю (Х +6,5) км/год, то
ч. - час руху пароплава за течією.
За умовою
вирішимо отримане рівняння
Звідки отримуємо квадратне рівняння
х2-37х +146,25 = 0 Гћ х1 = 4,5 км/год і х2 = 32,5 км/ч.
Здійснимо відбір отриманих рішень.
Через х ми позначили власну швидкість пароплава, при цьому швидкість течії річки 6,5 км/год, тому х1 = 4,5 км/год не підходить за змістом завдання (при такій швидкості пароплав не виплив би проти течії).
Тому, власна швидкість пароплава дорівнює 32,5 км/год
Відповідь: v = 32,5 км/ч.
Завдання 2. Відстань між містами А і В дорівнює 60 км. Два поїзди виходять одночасно: один з А в В, інший з В в А. Пройшовши 20 км, потяг, що йде з А в В, зупиняється на півгодини, потім, пройшовши 4 хвилини, зустрічає поїзд, що йде з В. Обидва потяги прибувають до місця призначення одночасно. Знайдіть швидкості поїздів.
Рішення:
4 хв.
Відобразимо всі умови задачі на малюнку.
Зауважимо, що якщо час в умові задачі виражено як в годинах, так і в хвилинах, то хвилини треба перевести в години. У нашому випадку 4 хв = 4/10 години = 1/15 години.
Так як в завданні треба визначити дві величини, введемо дві змінні і складемо два рівняння.
Нехай х км/год - швидкість поїзда, що вийшов з пункту А;
у км/год - швидкість поїзда, що вийшов з пункту В.
Так як в завданні відомо відстань, висловимо час через швидкість і відстань.
- час, за який поїзд з А пройшов 20 км.
- час, витрачений поїздом з А до зустрічі в пункті D.
- відстань, яку пройшов поїзд з А за 4 хвилини після зупинки.
Тоді поїзд з А до зустрічі в пункті D пройшов км.
км - відстань, пройдене поїздом з В до зустрічі.
- час, пройдена поїздом з В до зустрічі в пункті D.
Оскільки за умовою в пункті D поїзда зустрілися, вони затратили на шлях до зустрічі однаковий час, тому отримуємо перше рівняння
.
З іншого боку, висловимо час руху поїздів після зустрічі в пункті D.
Так як, то - час руху поїзда з В після зустрічі.
Так як, то - час руху поїзда з А після зустрічі.
За умовою.
Таким чином, ми склали систему двох рівнянь з двома змінними.
Вирішимо систему, для чого з першого рівняння висловимо у і підставимо цей вираз замість у в друге рівняння.
;
;
.
Вирішимо отримане рівняння
;
;
;
х1 = 60; х2 = -600.
Так як х - швидкість, то х2 не підходить за змістом завдання. Підставимо отримане значення х в вираз для у
.
Відповідь: vA = 60 км/год, vB = 40 км/ч.
Завдання на спільну роботу
Зміст завдань цього типу зводиться звичайно до наступного: деяку роботу, обсяг якої не вказується і не є шуканим, виконують кілька людей або механізмів, що працюють рівномірно, то Тобто з постійною для кожного з них продуктивністю. У таких завданнях обсяг всієї роботи, яка повинна бути виконана, приймається за 1; час t, потрібний для виконання всієї роботи, і р - продуктивність праці, тобто обсяг роботи, зробленої за одиницю часу, пов'язані співвідношенням
.
Розглянемо стандартну схему вирішення завдань цього типу.
Нехай х - час виконання деякої роботи першим робітникам,
у - час виконання цієї ж роботи другою робочою.
Тоді - продуктивність праці першого робочого,
- продуктивність праці другого робочого.
- спільна продуктивність праці.
- час, за який вони виконають завдання, працюючи разом.
Задача 1. Двоє робітників виконують певну роботу. Після 45 хвилин спільної роботи перший робочий був переведений на іншу роботу, і другий робочий закінчив решту роботи за 2 години 15 хвилин. За який час міг би виконати роботу кожен робітник окремо, якщо відомо, що другий для цього знадобиться на 1 годину більше, ніж першому.
Рішення:
Нехай х - час роботи першого по виконанню всій роботи.
у - час роботи другого працівника.
За умовою х = у-1, і перше рівняння складено.
Нехай обсяг всієї роботи дорівнює 1.
Тоді - продуктивність праці першого робочого,
- продук...
