Київський політехнічний інститут
Кафедра КСОІУ
Конспект лекцій
з дисципліни:
"Теоpия веpоятно і математична статистика"
Викладач: Студент II курсу
ФІОТ, гр. ІС-41
проф. Павлов А. А. Андрєєв А. С.
Київ - 1996 р.
Введення.
Теорія ймовірності виникла як наука з переконання, що в основі масових випадкових подій лежать детерміновані закономірності. Теорія ймовірності вивчає дані закономірності.
Наприклад: визначити однозначно результат випадання "орла" або "решки" в результаті підкидання монети не можна, але при багаторазовому підкиданні випадає приблизно однакове число "орлів" і "решек".
Випробуванням називається реалізація певного комплексу умов, який може відтворюватися необмежену кількість разів. При цьому комплекс умов включає в себе випадкові фактори, реалізація якого в кожному випробуванні призводить до неоднозначності результату випробування.
Наприклад: випробування - підкидання монети.
Результатом випробування є подія. Подія буває:
Достовірне (завжди відбувається в результаті випробування);
Неможливе (ніколи не відбувається);
Випадкове (може відбутися або не відбутися в результаті випробування).
Наприклад: При підкиданні кубика неможлива подія - кубик стане на ребро, випадкова подія - випадання який або грані.
Конкретний результат випробування називається елементарним подією.
В результаті випробування відбуваються лише елементарні події.
Сукупність усіх можливих, різних, конкретних результатів випробувань називається простором елементарних подій.
Наприклад: Випробування - підкидання шестигранного кубика. Елементарна подія - випадання межі з "1" або "2".
Сукупність елементарних подій цей простір елементарних подій.
Складним подією називається довільна підмножина простору елементарних подій.
Складне подія в результаті випробування настає тоді і тільки тоді, коли в результаті випробувань сталося елементарне подія, що належить складного.
Таким чином, якщо в результаті випробування може відбутися тільки одне елементарне подія, то в результаті випробування відбуваються всі складні події, до складу яких входять ці елементарні.
Наприклад: випробування - підкидання кубика. Елементарна подія - випадання межі з номером "1". Складне подія - випадання нечетной грані.
Введемо наступні позначення:
А - подія;
w - Елементи простору W
W - Простір елементарних подій;
U - простір елементарних подій як достовірна подія;
V - неможлива подія.
Іноді для зручності елементарні події будемо позначати Ei, Qi.
Операції над подіями.
1. Подія C називається сумою A + B, якщо воно складається з усіх елементарних подій, що входять як у A, так і в B. При цьому якщо елементарна подія входить і в A, і в B, то в C воно входить один раз. В результаті випробування подія C відбувається тоді, коли сталася подія, яка входить або в A або в B. Сума довільної кількості подій складається зі всіх елементарних подій, які входять в одне з Ai, i = 1, ..., m.
2. Подія C твором A і B, якщо воно складається з усіх елементарних подій, що входять і в A, і в B. Твором довільного числа подій називається подія складається з елементарних подій, що входять у всі Ai, i = 1, ..., m.
4. Подія називається протилежним події A, якщо воно задовольняє двом властивостям.
Формули де Моргана: і
5. Події A і B називаються несумісними, якщо вони ніколи не можуть відбутися в результаті одного випробування.
Події A і B називаються несумісними, якщо вони не мають спільних елементарних подій.
C = A Г— B = V
Тут V - порожня множина.
частості настання події.
Нехай простір елементарних подій звичайно і складається з m елементарних подій. У цьому випадку в якості можливих результатів випробувань розглядають 2m подій - безліч всіх підмножин простору елементарних подій W і неможливе подія V.
Приклад:
W = (W 1, w 2, w 3)
A1 = V
A2 = (пЃ· 1)
A3 = (пЃ· 2)
A4 = (пЃ· 3)
A5 = (пЃ· 1, пЃ· 2)
A6 = (пЃ· 2, пЃ· 3)
A7 = (пЃ· 1, пЃ· 3)
A8 = (w 1, w 2, w 3)
Позначимо систему цих подій через F. Беремо довільну подію AГЋ F. Проводимо серію випробувань в кількості n. n - це кількість випробувань, в кожному з яких відбулася подія A.
частості настання події A в n випробуваннях називається число
Властивості частості.
частості достовірного події дорівнює 1. пЃ— n (U) = 1.
частості суми попарно несумісних подій дорівнює сумі частостей.
Розглянемо систему Ai, i = 1, ..., k; події попарно несумісні, тобто
Подія
Нехай в результаті деякого випробування відбулася подія A. За визначенням суми це означає, що в цьому випробуванні стався деякий подія Ai. Так як всі події попарно несумісні, то це означає, що ніяке інше подія Aj (i В№ j) у цьому випробуванні статися не може. Отже:
nA = nA1 + nA2 + ... + nAk
Теорія ймовірності використовується при описі тільки таких випробувань, для яких виконується наступне припущення: Для будь-якої події A частость настання цієї події в будь нескінченної серії випробувань має один і той же межа, який називається ймовірністю настання події A.
Отже, якщо розглядається ймовірність настання довільного події, то ми розуміємо це число таким чином: це частость настання події в нескінченній (досить довгою) серії випробувань.
На жаль, спроба визначити ймовірність як межа частості, при числі випробувань, що прагнуть до нескінченності, закінчилася невдало. Хоча американський вчений Мізес створив теорію ймовірності, що базується на цьому визначенні, але її не визнали через велику кількість внутрішніх логічних невідповідностей.
Теорія ймовірності як наука була побудована на аксіоматиці Колмогорова.
Аксіоматика теорії ймовірності.
Побудова ймовірнісного простору.
Послідовно будуємо ймовірнісна простір.
Етап 1:
Є випробування. У результаті проведення випробування може спостерігатися одна подія із серії подій e . Всі події з системи e називаються спостережуваними. Введемо припущення, що якщо події A ГЊ e , B ГЊ e наблюдаеми, то наблюдаеми і події.
Система подій F називається полем подій чи алгеброю подій, якщо для двох довільних подій A, B ГЊ F виконується:
Доповнення
(A + B) ГЋ F, (A Г— B) ГЋ F
всі кінцеві суми елементів з алгебри належать алгебрі
всі кінцеві твори елементів з алгебри належать алгебрі
всі додатки кінцевих сум і добутків належать алгебрі.
Таким чином, систему e ми розширюємо до алгебри чи поля F шляхом включення всіх кінцевих сум, добутків, і їх доповнень. Тобто вважаємо, що в результаті проведення випробування спостережувана система є полем або алгеброю.
Безліч всіх підмножин кінцевого числа подій є спостережуваної системою - алгеброю, полем.
Етап 2:
Кожному події A ГЋ F ставимо у відповідність число P (A), яке називається ймовірністю настання події A. Така операція задає імовірнісну міру.
Імовірнісна міра - числова скалярна функція, аргументами якої є елементи із системи алгебри F. Запроваджена імовірнісна міра задовольняє системі з трьох аксіом.
P (U) = 1.
Розглянемо кінцеву чи нескінченну систему попарно несумісних подій, кожне з яких належить алгеб...
