Реферат учня 10 ф/м Б класу Кожевнікова Кирила.
лютого 2002
З глибокої давнини відомі три завдання на побудова: про подвоєння куба, трисекции кута і квадратуру кола. Вони зіграли особливу роль в історії математики. Зрештою було доведено, що ці завдання неможливо розв'язати, користуючись лише циркулем і лінійкою. Але вже сама постановка завдання - В«довести нерозв'язністьВ» - була сміливим кроком вперед. Разом з тим пропонувалося безліч рішень за допомогою нетрадиційних інструментів. Все це призвело до виникнення і розвитку зовсім нових ідей в геометрії і алгебри. Чимало досягли успіху в нестандартних та різних наближених рішеннях любителі математики - серед них три знамениті завдання давнини особливо популярні. Завдання здаються доступними кожному: вводять в оману їх прості формулювання. До цих пір редакції математичних журналів час від часу отримують листи, автори яких намагаються спростувати давно встановлені істини і докладно викладають рішення якої-небудь із знаменитих завдань за допомогою циркуля і лінійки.
КЛАСИЧНІ ЗАВДАННЯ СТАРОЖИТНОСТІ
Давньогрецькі математики досягли надзвичайно великого мистецтва в геометричних побудовах за допомогою циркуля і лінійки. Однак три завдання не піддавалися їхнім зусиллям. Пройшли тисячоліття, і тільки в наш час, нарешті, були отримані їх вирішення.
Історія знаходження квадратури кола тривала чотири тисячоліття, а сам термін став синонімом нерозв'язних завдань. Як випливає з подібності кіл, відношення довжини окружності до її діаметра є величина постійна, не залежна від радіусу кола, вона позначається буквою п. Таким чином, довжина кола круга радіуса r дорівнює 2pr2, а так як площа круга дорівнює S = 2pr2, то задача про квадратуру кола зводиться до задачі побудови трикутника з підставою 2pr2 і висотою r. Для нього потім вже без праці може бути побудований рівновеликий квадрат.
Отже, задача зводилася до побудови відрізка, довжина якого дорівнює довжині окружності даного кола. Це було показано ще Архімедом в творі В«Вимірювання кругаВ», де він доводить, що число p менше ніж
, але більше ніж,
тобто 3,1408
В наші дні за допомогою ЕОМ число p обчислено з точністю до мільйона знаків, що представляє скоріше технічний, ніж науковий інтерес, тому що така точність нікому не потрібна. Десяти знаків числа p (p = 3,141592653 ...) цілком достатньо для всіх практичних цілей. Довгий час в якості наближеного значення я використовували число 22/7, хоча вже в V в. в Китаї було знайдено наближення 355/113 == 3,1415929 ..., яке було відкрито знову в Європі лише в XVI в. У Стародавній Індії p вважали рівним = 3,1622 .... Французький математик Ф. Вієт обчислив в 1579 р. я з 9 знаками. Голландський математик Лудольф Ван Цейла в 1596 р. публікує результат свого десятирічної праці - число p , обчислене з 32 знаками.
Але всі ці уточнення значення числа л вироблялися методами, зазначеними ще Архімедом: окружність замінялася багатокутником зі все більшим числом сторін (рис. 1, а). Периметр вписаного багатокутника при цьому був менше довжини кола, а периметр описаного багатокутника-більше. Але при цьому залишалося незрозумілим, чи є число p раціональним, тобто відношенням двох цілих чисел, або ірраціональним. Лише в 1767 р. німецький математик І. Г. Ламберт довів, що число л ірраціонально, а ще через сто з гаком років в 1882 р. інший німецький математик-Ф. Ліндеман довів його трансцендентність, що означало і неможливість побудови за допомогою циркуля і лінійки квадрата, рівновеликого даному колу.
Звичайно, способів наближеного рішення квадратури кола за допомогою циркуля і лінійки було придумано безліч. Так, в Стародавньому Єгипті було поширено правило: площа круга дорівнює площі квадрата зі стороною, рівною 8/9; p = 256/81 == 3,1604 ....
Були знайдені й інші шляхи визначення квадратури кола: крім циркуля і лінійки використовували інші інструменти або спеціально побудовані криві. Так, у V ст. до н.е. грецький математик Гіппій з Еліди винайшов криву, що згодом отримала назву квадратріси Дінострата (її назвали по імені іншої давньогрецького математика, який жив дещо пізніше і який вказав спосіб побудови квадратури кола за допомогою цієї кривої).
Надзвичайно цікаво, що квадратріси Дінострата вирішує і другу із знаменитих завдань стародавності-задачу про трисекции кута. Для цього потрібно відкласти даний кут так, щоб його вершина перебувала в точці О, а одна зі сторін збіглася з променем ОА. З точки N перетину квадратріси з другим променем кута опускаємо перпендикуляр NК на ОА, а потім ділимо відрізок kА на три рівні частини. Якщо відновити своєму, в точках ділення перпендикуляри до прямої;
ОА до перетину з квадратріси, а потім з'єднати отримані точки перетину l з точкою О, то отримані кути виявляться рівними. Це випливає з методу побудови квадратріси. Аналогічним чином можна ділити будь-який кут на довільну кількість рівних частин.
Нагадаємо, що в класичній постановці задачі про трисекции кута така побудова було потрібно зробити лише за допомогою циркуля і лінійки! У 1837 р. французький математик П. Ванцель довів, що в загальному вигляді завдання не має рішення, а можливо таке ділення лише в декількох виняткових випадках, зокрема для кута а = p/2 і всіх кутів виду p/2n.
Рішення задачі зводиться до рівняння х3 - Зх - а = 0. Виявилося, що трисекции кута можлива для тих кутів a, для яких корені цього рівняння виражаються через параметр а й цілі числа лише за допомогою операцій додавання, віднімання, множення, ділення та добування квадратного кореня.
До кубічному рівнянню зводиться і знаменита В«Делоського задача В»подвоєння куба. Свою назву вона отримала від острова Делос в Егейському море, де, за легендою, щоб позбавити жителів від епідемії, оракул звелів подвоїти вівтар, який мав форму куба. Але в дійсності вона, напевно, виникла в умах математиків як узагальнення задачі про подвоєння квадрата. Для того щоб побудувати квадрат вдвічі більшої площі, ніж даний, досить провести у даного квадрата діагональ (рис. 1д) і прийняти її за бік нового квадрата.
Задача про подвоєння куба виявилася істотно більш важкою. Якщо позначити через а довжину сторони вихідного куба, а через х-довжину боку вдвічі більшого куба, то отримаємо співвідношення х3 = 2а3 -Знову кубічне рівняння. У 1837 р. той же П. Ванцель довів, що неможливо побудувати з по міццю тільки циркуля і лінійки відрізок, в 1/2 раз більший даного, тобто підтвердив нерозв'язність завдання подвоєння куба.
Природно, що існували способи наближеного вирішення цього завдання і рішення її за допомогою інших інструментів і кривих. Так, вже в IV в. до н.е. давньогрецькі математики вміли знаходити корінь рівняння x3 = 2a3 як абсцису точки перетину двох парабол х2 = Aу і у2 = 2ах, а також інших конічних перетинів.
Протягом багатьох століть три знамениті задачі давнину привертали увагу видатних математиків. У процесі їх вирішення народжувалися і удосконалювалися багато математичні методи.
подвоєння куба
У цьому завданні потрібно побудувати циркулем і лінійкою куб вдвічі більшого обсягу, ніж заданий. Ребро шуканого куба одно а, де а - ребро вихідного куба. Якщо прийняти, що а = 1, то шукане ребро х є корінь рівняння x3 - 2 = 0. У даного рівняння немає раціональних, а значить, і квадратично-іраціональних коренів. Отже, подвоєння куба можна здійснити циркулем і лінійкою. Приблизно таке расужденія було застосовано на початку XIX ст., Коли був підготовлений необхідний для цього алгебраїчний апарат.
Вважають, що задача про подвоєння куба з'явилася під часи піфагорійців, близько 540 р. до н. е.. Можливо, вона виникла із задачі про подвоєнні квадрата, яку легко вирішити, спираючись на теорему Піфагора, - треба побудувати квадрат на діагоналі даного квадрата. Згідно з легендою, жителі А...
