Раніше розглядалися найпростіші одноконтурні (двоконтурні) електричні ланцюги і схеми з двома вузлами. Були описані способи перетворення схем, за допомогою яких у ряді випадків вдається спростити розрахунок розгалуженої електричного ланцюга.
В разі, коли електрична схема досить складна й не наводиться до схеми одноконтурною ланцюга, користуються більш загальними методами розрахунку. Описані нижче методи застосовні для ланцюгів постійного і змінного струму.
Метод контурних струмів дозволяє зменшити кількість рівнянь системи до числа
- число рівнянь (Сост. по II закону Кірхгофа).
Якщо в ланцюзі деякі вузли з'єднуються гілками, що не змінюють провідність (вони можуть містити джерела струму), то число рівнянь К, складаються за методом контурних струмів зменшується на NT.
Метод грунтується на тому властивості, що струм в будь-якої гілки ланцюга може бути представлений у вигляді алгебраїчної суми незалежних контурних струмів, що протікають в цій гілки.
При користуванні методом спочатку вибирають і позначають незалежні контурні струми (По будь-якої гілки повинен протікати хоча б один вибраний струм).
- число незалежних контурних струмів, їх необхідно вибирати проходять по гілці, що не містять джерел струму.
Нехай електричний ланцюг містить n контурів (незалежних). Згідно II закону Кірхгофа отримуємо наступну систему з n лінійних рівнянь:
При цьому слід вважати, якщо умовні позитивні напрямки контурних струмів в однієї гілки контурів K і m співпадають, і, якщо вони протилежні.
де D1 D2 Dn - Доповнення
D - визначник системи.
Розрахунок усталеного режиму в ланцюзі змінного струму комплексним методом виконується в наступній послідовності:
Складається електрична схема, на якій всі джерела і пасивні елементи представляються комплексними величинами відповідно напруг, струмів, опорів (провідностей).
Вибирається умовно позитивний напрямок для комплексних значень напруг, ЕРС і струмів.
Згідно рівнянням електричних ланцюгів (Ома, Кірхгофа) в комплексній формі складаються алгебраїчні рівняння для розраховується ланцюга.
Рівняння ланцюга дозволяються відносно шуканих змінних (струмів, напруг) у їх комплексній формі.
Метод вузлових потенціалів
Метод дозволяє зменшити кількість рівнянь системи до числа, де Ny - число вузлів електричної схеми.
Сутність методу полягає в тому, що спочатку визначаються потенціали всіх вузлів схеми, а струми гілок, що з'єднують вузли, визначаються за допомогою законів Ома.
При складанні рівнянь по МУП спочатку думають рівним нулю потенціал якого вузла, для решти складають рівняння по I-му закону Кірхгофа.
Якщо в ланцюзі деякі вузли з'єднуються гілками, що не мають опорів (вони можуть містити джерела напруг), то число KI рівнянь, складених за МУП, зменшується на Nн (число гілок з нульовими опорами).
- число рівнянь за МУП.
Перш, ніж перейти до викладу самого методу, нагадаємо, що у випадку, коли між двома вузлами є кілька паралельних гілок з джерелами ЕРС (або без них), їх можна привести до однієї еквівалентної схемою.
Це уявлення еквівалентною схемою паралельних гілок з джерелами ЕРС дає нам право без обмеження спільності вважати, що між будь-якою парою вузлів включена тільки одна гілка.
Далі будемо припускати, що, тобто між вузлами ланцюга не включені ідеальні джерела ЕРС.
В Як приклад складемо рівняння за методом вузлових напруг для ланцюга, зображеної на рис. 3.
Визнач:
і параметри всіх елементів.
Розрахунок ланцюга виробляємо комплексним методом:
Для вузлів 1, 2, 3 маємо рівняння:
(1)
Y11 = Y12 + Y10 + Y13; Y22 = Y20 + Y12 + Y23; Y33 = Y30 + Y13 + Y23
Вирішивши систему з 3-х рівнянь щодо вузлових напруг, знаходимо напруги на гілках і струми в них. Метод вузлових напруг застосуємо до незалежних контурах.
Позитивне спрямування всіх вузлових напруг прийнято вважати до опорного вузла.
Перше рівняння Кірхгофа для деякого вузла К можна записати:
(1)
Для Перший вузла:
Значення Z1; Z2; Z3; E1 і E2 у нас були визначені раніше (див. 1-й спосіб вирішення).
Відповідь:
Між вузлами До і m є гілка з джерелами ЕРС (EKm), опором ZKm, то струм в цьому ланцюзі (гілки), спрямований від До до m пов'язаний співвідношеннями:
Перший закон Кірхгофа для рис. 1 має вигляд (1).
Напруга можна виразити через вузлові напруги у вигляді:
.
Отримуємо:
або
Позначивши , Де YKK - сума провідностей всіх гілок, приєднаних до К-ому вузлу, маємо:
- що і є основним рівнянням для К-ого вузла по МУП.
В розгорнутій формі сукупність рівнянь по МУП має вигляд:
Вирішуючи цю систему, знайдемо вузлові напруги, причому для К-ого вузла величина буде:
,
де D - Головний визначник системи, DmK - його алгебраїчне доповнення.
Після того, як вузлові напруги знайдені, визначення струмів в гілках ланцюга мають вид:
Якщо в гілці містяться ЕРС, то струм дорівнює
Метод вузлових напруг застосовується до незалежних вузлів.
Якщо до К-ому вузлу підтікає струм від джерела струму, то він повинен бути включений у ток IKK зі знаком В«+В», якщо витікає, то зі знаком В«-В».
Якщо між якими двома вузлами немає гілки, то відповідна провідність дорівнює 0.
Yii - Власна провідність всіх гілок, що підходять до вузла i (завжди зі знаком В«+В»).
Yiк - Взаємна провідність між вузлами i та до (входить в рівняння завжди зі знаком В«-В» При обраному напрямку всіх вузлових напруг до базисного вузла).
Струм I1 називається вузловим струмом першого вузла. Це розрахункова величина, рівна алгебраїчній сумі струмів, отриманих від ділення ЕРС гілок, відповідних до Перший вузлу, на опору даних гілок. У цю суму зі знаком В«+В» входять струми тих гілок, ЕДС яких спрямована до 1-го вузлу.
Y11 - Провідність всіх гілок, що сходяться в 1-му вузлі.
Y12 - Провідність взаємна - дорівнює сумі провідностей всіх гілок, з'єднують вузол 1 з вузлом 2 (береться зі знаком В«-В»).
Приклад:
Е2 = Е3 = 1 В
IK3 = 1 A
IK2 = 1 A
R1 = 13 Ом
R2 = 5 Ом
R3 = 9 Ом
R4 = 7 Ом
R5 = 1 Ом
R6 = 4 Ом
Визначити струми в гілках.
Для визначення напруги між двома довільними точками схеми необхідно ввести в ліву частину рівнянь шукане напруга уздовж шляху, як би доповнюючого незамкнений контур до замкнутого.
