Проективна геометрія розвинулася і виділилася в особливу гілку геометричних знань у перші десятиліття 19 століття. Джерелом цього з'явилися потреби графіки і архітектури, розвиток теорії зображень в перспективі.
Так, французький геометр Понселе одним з перших виділив особливі властивості геометричних фігур, названі ним проективними.
Що це за властивості?
Нехай F-довільна фігура в деякій площині a, b - будь - яка інша площину, Т.О - довільна точка простору, не належить ні одній площині (a і b). Точка, отсоединенная з кожного точкою М фігури F, визначає пряму (ОМ), що перетинає площину b в деякій точці М /, яку ми будемо називати проекцією точки М (на площині b із центру О).
Проекції всіх крапок фігури F на площину b складуть деяку фігуру F /, яка називається проекцією фігури F. Операція, за допомогою якої в даній задачі з фігури F отримана фігура F/носить назву центрального проектування з точки О. Якщо змінити положення точки О і площини b ми отримаємо нескінченну безліч фігур (або інакше кажучи, центральних проекцій фігури F), які в чомусь будуть схожі на фігуру F, але в чомусь і відрізнятися. Наприклад, проектуючи правильний трикутник, одержимо теж трикутник, але довільної форми. Проектуючи окружність, можемо отримати еліпс або параболу, або навіть гіперболу. При такому проектуванні не зберігаються метричні характеристики фігур (довжина, площа і т. д.).
Які ж властивості зберігаються? Вони зазвичай називаються інваріантами перетворення, яким у цьому випадку є перетворення проектування. Саме ці властивості фігур, інваріантні по відношенню до такого проектуванню, Понселе назвав проективними властивостями, а предмет, їх вивчає-проективної геометрією.
Приклади інваріантних властивостей.
Якщо фігура або об'єкт - пряма, то після проектування одержимо також пряму. Якщо фігура F-конічний перетин, тобто описується квадратичною формою a11x2 + a22y2 + a12xy + a13x + a23y + a33 = 0, то проекцією крапок на конічному перерізі ляжуть також на деякий конічний перетин. Таким чином, окремі види конічних перетинів (окружності, еліпси, параболи, гіперболи) в проективної геометрії не відрізняються - на відміну від афінної, наприклад, де еліпс завжди перейде в еліпс.
Важливою передумовою перетворення проективної геометрії в самостійну дисципліну, було введення у вживання нескінченно віддалених геометричних елементів. Займемося їх визначенням.
Нехай А - довільна точка простору і a - пряма, не проходить через точку А . Проведемо площину a через точку А і пряму а . Розглянемо всілякі прямі, що проходять через точку А і лежать в площині a (рис.2).
Встановимо відповідність між прямими пучка, що проходить через А і точками на прямій а . Наприклад, променю m відповідає точка M . Очевидно, що яку б точку на прямій a ми не вибрали, їй завжди відповідає певний промінь. Однак, не можна стверджувати, що будь-якому променю відповідає точка прямий a . Дійсно, візьмемо промінь a/, відповідної точки на a ми не знайдемо. Таким чином, відповідність між променями пучка та крапками прямої a не є взаємно однозначними. Це не завжди зручно при операціях проектування. Щоб усунути це незручно, умовимося вважати паралельні прямі, що перетинають на нескінченності. Тоді промінь а/ з пучка А , паралельний а , буде мати на цій прямій відповідну крапку, але не звичайну, а звану нескінченно віддаленій точкою. Це новий геометричний об'єкт. Всі паралельні один одному прямі в площині a мають одну загальну нескінченно віддалену точку, тому систему паралельних прямих називають пучком з нескінченно віддаленим центром (рис.3).
Нескінченно віддалені точки непаралельних прямих у площині вважаються різними. Таким чином, кожна площина містить нескінченно багато різних нескінченно віддалених точок. Сукупність усіх нескінченно віддалених точок площині називається нескінченно віддаленій прямий.
Таким чином, кожна площина містить одну нескінченно вилучену пряму.
Цілком логічно сукупність всіх нескінченно віддалених прямих назвати нескінченно віддаленій площиною.
Висновки:
безліч об'єктів звичайного евклідового простору доповнюється новими елементами:
До безлічі точок кожної прямий додається одна нескінченно віддалена точка; До безлічі прямих кожної площини додається одна нескінченно віддалена пряма; До безлічі всіх площин простору R3 додається нескінченно віддалена площину.
Визначення : пряма доповнена нескінченно віддаленій точкою називається проективної прямої .
Проективну пряму слід представляти у вигляді замкнутої лінії. Площина, доповнена нескінченно віддаленій прямий називається проективної площиною. Простір, доповнене нескінченно віддаленій площиною називається проективним простором.
Термін нескінченності іноді вживається і в звичайній, елементарної геометрії (наприклад, що паралельні прямі сходяться в нескінченності), але це лише словесне вираження, в проективної ж геометрії нескінченно вилучені елементи грають таку ж роль, як і звичайні геометричні образи. У звичайній геометрії більшу роль відіграє вивчення метричних властивостей фігур (довжини, площі, кути, обсяги).
У проективної, процес виміру втрачає сенс, т. до наприклад, один кінець відрізка може виявитися в нескінченності. Таким чином, метричні властивості фігур не є проективними властивостями.
Проективна геометрія, як і будь-яка інша, будується на деякій системі аксіом. Всі аксіоми розбиті на три групи:
1.Аксіоми зв'язку:
Коротко сформулюємо їх, врахувавши, що тепер у поняття будь-якого об'єкта включається нескінченно вилучені елементи.
Які б не були дві точки
А і
В завжди існує пряма, що проходить через них. Які б не були дві різні точки А і В, існує не більше однієї прямої, що проходить через них. На кожній прямій є не менш трьох крапок. Існує принаймні 3 точки, що не лежать на одній прямій. Через кожні три крапки А, B, C не лежать на одній прямій, проходить деяка площина a. На кожній площині є не менше однієї точки. Через кожні три крапки А, B, C не лежать на одній прямій, проходить не більше однієї площини. Якщо дві точки А і В прямої а лежать у площині a, то кожна точка прямої а лежить у площині a. Якщо дві площини a і b мають спільну точку А, то вони мають ще принаймні одну спільну точку. Є не менше чотирьох точок, які не лежать на одній площині. Кожні дві прямі, розташовані в одній площині мають загальну точку.
Ці аксіоми повторюють аксіоми звичайної евклідової геометрії за винятком пункту 1.9 , якого там немає.
2.Аксіоми порядку:
В елементарній геометрії в основу визначення порядку проходження крапок на прямій закладено поняття про розташування точки між двома іншими точками. Т. е. якщо є дві точки А і В то обов'язково знайдеться точка С на прямій А В, лежача між А і В.
Такий порядок розташування точок є основою введення координат точок на прямій (надалі на площині і в просторі), тобто дозволяє зробити відображення взаємного розташування точок на безліч дійсних чисел, ввести одиницю виміру.
У проективної геометрії пряма є замкнута в нескінченності лінія, тому не можна в визначення порядку покласти принцип: що при заданих А і В знайдеться точка С між ними, визначальна порядок проходження крапок на прямій як А, В, C. І все-таки, якесь визначення порядку точок на проективної прямої необхідно зробити хоча б для введення нею системи координат, визначення проекції фігур в обчислювальній геометрії або машинній графіці.
На прямій у звичайній евклідовій геометрії положення крапок можна було характеризувати одним числом, однією координатою, відлічуваний в деякому масштабі від точки, прийнятої за нуль. ...
